MySQL索引背後的資料結構及演算法之基礎篇(1)

索引的本質

MySQL官方對索引的定義為：索引(Index)是協助MySQL高效擷取資料的資料結構。提取句子主幹，就可以得到索引的本質：索引是資料結構。

我們知道，資料庫查詢是資料庫的最主要功能之一，例如下面的SQL語句：

SELECT * FROM my_table WHERE col2 = '77'

可以從表“my_table”中獲得“col2”為“77”的資料記錄。

我們都希望查詢資料的速度能儘可能的快，因此資料庫系統的設計者會從查詢演算法的角度進行最佳化。最基本的查詢演算法當然是順序尋找(linear search)，遍曆“my_table”然後逐行匹配“col2”的值是否是“77”，這種複雜度為O(n)的演算法在資料量很大時顯然是糟糕的，好在電腦科學的發展提供了很多更優秀的尋找演算法，例如二分尋找(binary search)、二叉樹尋找(binary tree search)等。如果稍微分析一下會發現，每種尋找演算法都只能應用於特定的資料結構之上，例如二分尋找要求被檢索資料有序，而二叉樹尋找只能應用於二叉尋找樹上，但是資料本身的組織圖不可能完全滿足各種資料結構(例如，理論上不可能同時將兩列都按順序進行組織)，所以，在資料之外，資料庫系統還維護著滿足特定尋找演算法的資料結構，這些資料結構以某種方式引用(指向)資料，這樣就可以在這些資料結構上實現進階尋找演算法。這種資料結構，就是索引。

看一個例子：

圖1

圖1展示了一種可能的索引方式。左邊是資料表，一共有兩列七條記錄，最左邊的是資料記錄的物理地址(注意邏輯上相鄰的記錄在磁碟上也並不是一定物理相鄰的)。為了加快Col2的尋找，可以維護一個右邊所示的二叉尋找樹，每個節點分別包含索引索引值和一個指向對應資料記錄物理地址的指標，這樣就可以運用二叉尋找在O(log2n)的複雜度內擷取到相應資料。

雖然這是一個貨真價實的索引，但是實際的資料庫系統幾乎沒有使用二叉尋找樹或其進化品種紅/黑樹狀結構(red-black tree)實現的，原因會在下文介紹。

B-Tree和B+Tree

目前大部分資料庫系統及檔案系統都採用B-Tree或其變種B+Tree作為索引結構，在本文的下一節會結合儲存空間原理及電腦存取原理討論為什麼B-Tree和B+Tree在被如此廣泛用於索引，這一節先單純從資料結構角度描述它們。

B-Tree

為了描述B-Tree，首先定義一條資料記錄為一個二元組[key, data]，key為記錄的索引值，對於不同資料記錄，key是互不相同的;data為資料記錄除key外的資料。那麼B-Tree是滿足下列條件的資料結構：

d為大於1的一個正整數，稱為B-Tree的度。

h為一個正整數，稱為B-Tree的高度。

每個非葉子節點由n-1個key和n個指標組成，其中d<=n<=2d。

每個葉子節點最少包含一個key和兩個指標，最多包含2d-1個key和2d個指標，分葉節點的指標均為null 。

所有分葉節點具有相同的深度，等於樹高h。

key和指標互相間隔，節點兩端是指標。

一個節點中的key從左至右非遞減排列。

所有節點群組成樹結構。

每個指標要麼為null，要麼指向另外一個節點。

如果某個指標在節點node最左邊且不為null，則其指向節點的所有key小於v(key1)，其中v(key1)為node的第一個key的值。

如果某個指標在節點node最右邊且不為null，則其指向節點的所有key大於v(keym)，其中v(keym)為node的最後一個key的值。

如果某個指標在節點node的左右相鄰key分別是keyi和keyi+1且不為null，則其指向節點的所有key小於v(keyi+1)且大於v(keyi)。

圖2是一個d=2的B-Tree。

圖2

由於B-Tree的特性，在B-Tree中按key檢索資料的演算法非常直觀：首先從根節點進行二分尋找，如果找到則返回對應節點的data，否則對相應區間的指標指向的節點遞迴進行尋找，直到找到節點或找到null指標，前者尋找成功，後者尋找失敗。B-Tree上尋找演算法的虛擬碼如下：

 

  
BTree_Search(node, key) 
  
{ 
  
if(node == null) return null; 
  
foreach(node.key) 
  
{ 
  
if(node.key[i] == key) return node.data[i]; 
  
if(node.key[i] > key) return BTree_Search(point[i]->node); 
  
} 
  
return BTree_Search(point[i+1]->node); 
  
} 
  
data = BTree_Search(root, my_key); 
 

關於B-Tree有一系列有趣的性質，例如一個度為d的B-Tree，設其索引N個key，則其樹高h的上限為logd((N+1)/2)，檢索一個key，其尋找節點個數的漸進複雜度為O(logdN)。從這點可以看出，B-Tree是一個非常有效率的索引資料結構。

另外，由於插入刪除新的資料記錄會破壞B-Tree的性質，因此在插入刪除時，需要對樹進行一個分裂、合并、轉移等操作以保持B-Tree性質，本文不打算完整討論B-Tree這些內容，因為已經有許多資料詳細說明了B-Tree的數學性質及插入刪除演算法，有興趣的朋友可以在本文末的參考文獻一欄找到相應的資料進行閱讀。

B+Tree

B-Tree有許多變種，其中最常見的是B+Tree，例如MySQL就普遍使用B+Tree實現其索引結構。

與B-Tree相比，B+Tree有以下不同點：

每個節點的指標上限為2d而不是2d+1。

內節點不儲存data，只儲存key;葉子節點不儲存指標。

圖3是一個簡單的B+Tree示意。

圖3

由於並不是所有節點都具有相同的域，因此B+Tree中分葉節點和內節點一般大小不同。這點與B-Tree不同，雖然B-Tree中不同節點存放的key和指標可能數量不一致，但是每個節點的域和上限是一致的，所以在實現中B-Tree往往對每個節點申請同等大小的空間。

一般來說，B+Tree比B-Tree更適合實現外儲存索引結構，具體原因與外儲存空間原理及電腦存取原理有關，將在下面討論。

帶有順序訪問指標的B+Tree

一般在資料庫系統或檔案系統中使用的B+Tree結構都在經典B+Tree的基礎上進行了最佳化，增加了順序訪問指標。

圖4

4所示，在B+Tree的每個葉子節點增加一個指向相鄰葉子節點的指標，就形成了帶有順序訪問指標的B+Tree。做這個最佳化的目的是為了提高區間訪問的效能，例4中如果要查詢key為從18到49的所有資料記錄，當找到18後，只需順著節點和指標順序遍曆就可以一次性訪問到所有資料節點，極大提到了區間查詢效率。

這一節對B-Tree和B+Tree進行了一個簡單的介紹，下一節結合儲存空間存取原理介紹為什麼目前B+Tree是資料庫系統實現索引的首選資料結構。