【DCT筆記】DCT變換、DCT反變換、分塊DCT變換

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 DCT變換、DCT反變換、分塊DCT變換

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一、引言

       DCT變換的全稱是離散餘弦變換(Discrete Cosine Transform)，主要用於將資料或映像的壓縮，能夠將空域的訊號轉換到頻域上，具有良好的去相關性的效能。DCT變換本身是無損的，但是在映像編碼等領域給接下來的量化、哈弗曼編碼等創造了很好的條件，同時，由於DCT變換時對稱的，所以，我們可以在量化編碼後利用DCT反變換，在接收端恢複原始的映像資訊。DCT變換在當前的映像分析已經壓縮領域有著極為廣大的用途，我們常見的JPEG靜態映像編碼以及MJPEG、MPEG動態編碼等標準中都使用了DCT變換。

 

二、一維DCT變換

      一維DCT變換時二維DCT變換的基礎，所以我們先來討論下一維DCT變換。一維DCT變換共有8種形式，其中最常用的是第二種形式，由於其運算簡單、適用範圍廣。我們在這裡只討論這種形式，其運算式如下：

      

       其中，f(i)為原始的訊號，F(u)是DCT變換後的係數，N為原始訊號的點數，c(u)可以認為是一個補償係數，可以使DCT變換矩陣為正交矩陣。

 

三、二維DCT變換

       二維DCT變換其實是在一維DCT變換的基礎上在做了一次DCT變換，其公式如下：

    

       由公式我們可以看出，上面只討論了二維映像資料為方陣的情況，在實際應用中，如果不是方陣的資料一般都是補齊之後再做變換的，重構之後可以去掉補齊的部分，得到原始的映像資訊，這個嘗試一下，應該比較容易理解。

      另外，由於DCT變換高度的對稱性，在使用Matlab進行相關的運算時，我們可以使用更簡單的矩陣處理方式：

   

      接下來利用Matlab對這個過程進行模擬處理：

 1 clear; 2 clc; 3 X=round(rand(4)*100)   %產生隨機矩陣 4 A=zeros(4); 5 for i=0:3 6     for j=0:3 7         if i==0 8             a=sqrt(1/4); 9         else10             a=sqrt(2/4);11         end            12         A(i+1,j+1)=a*cos(pi*(j+0.5)*i/4);13     end14 end15 Y=A*X*A‘        %DCT變換16 YY=dct2(X)      %Matlab內建的dct變換

       運行結果為：

 1 X = 2  3     42    66    68    66 4     92     4    76    17 5     79    85    74    71 6     96    93    39     3 7  8  9 Y =10 11   242.7500   48.4317   -9.7500   23.505212   -12.6428  -54.0659    7.4278   22.795013    -6.2500   10.7158  -19.7500  -38.804614    40.6852  -38.7050  -11.4653  -45.934115 16 17 YY =18 19   242.7500   48.4317   -9.7500   23.505220   -12.6428  -54.0659    7.4278   22.795021    -6.2500   10.7158  -19.7500  -38.804622    40.6852  -38.7050  -11.4653  -45.9341

      由上面的結果我們可以看出，我們採用的公式的方法和Matlab內建的dct變化方法結果是一致的，所以驗證了我們方法的正確性。

      如果原始訊號是映像等相關性較大的資料的時候，我們可以發現在變換之後，係數較大的集中在左上方，而右下角的幾乎都是0，其中左上方的是低頻分量，右下角的是高頻分量，低頻係數體現的是映像中目標的輪廓和灰階分布特性，高頻係數體現的是目標形狀的細節資訊。DCT變換之後，能量主要集中在低頻分量處，這也是DCT變換去相關性的一個體現。

      之後在量化和編碼階段，我們可以採用“Z”字形編碼，這樣就可以得到大量的連續的0，這大大簡化了編碼的過程。

 

四、二維DCT反變換

     在映像的接收端，根據DCT變化的可逆性，我們可以通過DCT反變換恢複出原始的映像資訊，其公式如下：

     

      同樣的道理，我們利用之前的矩陣運算公司可以推匯出DCT反變換相應的矩陣形式：

      

      下面我們用Matlab對這個過程進行模擬：

 1 clear; 2 clc; 3 X=[ 4     61    19    50    20 5     82    26    61    45 6     89    90    82    43 7     93    59    53    97] %原始的資料 8 A=zeros(4); 9 for i=0:310     for j=0:311         if i==012             a=sqrt(1/4);13         else14             a=sqrt(2/4);15         end            16         A(i+1,j+1)=a*cos(pi*(j+0.5)*i/4); %產生變換矩陣17     end18 end19 Y=A*X*A‘   %DCT變換後的矩陣20 X1=A‘*Y*A  %DCT反變換恢複的矩陣

      運行結果為：

 1 X = 2  3     61    19    50    20 4     82    26    61    45 5     89    90    82    43 6     93    59    53    97 7  8  9 Y =10 11   242.5000   32.1613   22.5000   33.221212   -61.8263    7.9246  -10.7344   30.688113   -16.5000  -14.7549   22.5000   -6.877014     8.8322   16.6881  -35.0610   -6.924615 16 17 X1 =18 19    61.0000   19.0000   50.0000   20.000020    82.0000   26.0000   61.0000   45.000021    89.0000   90.0000   82.0000   43.000022    93.0000   59.0000   53.0000   97.0000

      我們可以看到反變換後無損的恢複了原始資訊，所以證明了方法的正確性。但是在實際過程中，需要量化編碼或者直接捨棄高頻分量等處理，所以會出現一定程度的誤差，這個是不可避免的。

 

五、分塊DCT變換

      在實際的影像處理中，DCT變換的複雜度其實是比較高的，所以通常的做法是，將映像進行分塊，然後在每一塊中對映像進行DCT變換和反變換，在合并分塊，從而提升變換的效率。具體的分塊過程中，隨著子塊的變大，演算法複雜度急速上升，但是採用較大的分塊會明顯減少映像分塊效應，所以，這裡面需要做一個折中，在通常使用時，大都採用的是8*8的分塊。

      Matlab的 blkproc 函數可以幫我們很方便的進行分塊處理，下面給出我們的處理過程：

 1 clear; 2 clc; 3   4 X=imread(‘pepper.bmp‘); 5 X=double(X); 6 [a,b]=size(X); 7 Y=blkproc(X,[8 8],‘dct2‘); 8 X1=blkproc(Y,[8 8],‘idct2‘); 9  10 figure11 subplot(1,3,1);12 imshow(uint8(X));13 title(‘原始圖‘);14  15 subplot(1,3,2);16 imshow(uint8(Y));17 title(‘分塊DCT變換圖‘);18  19 subplot(1,3,3);20 imshow(uint8(X1));21 title(‘分塊DCT恢複圖‘);22  23 Y1=dct2(X);24 X10=idct2(Y1);25  26 figure27 subplot(1,3,1);28 imshow(uint8(X));29 title(‘原始圖‘);30  31 subplot(1,3,2);32 imshow(uint8(Y1));33 title(‘DCT變換圖‘);34  35 subplot(1,3,3);36 imshow(uint8(X10));37 title(‘DCT反變換恢複圖‘);

      運行結果為：

     

 

      

      ，我們可以明顯看出DCT變換與分塊DCT變換在使用時的區別。

六、小結

        DCT、DWT等是影像處理的基礎知識，之前一直有用到，但是沒怎麼好好整理下，今天在做稀疏編碼的時候正好有用到，就順便整了下，希望能夠給後來者一些提示。

 

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Reference:http://wuyuans.com/2012/11/dct2/

 

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