深入理解二進位補碼

深入理解二進位補碼

背景

大家都知道電腦內部採用補碼錶示整數的，但是具體到補碼的內在含義，很多人不能理解，故我們分享自己的理解。

首先說下補碼的定義以及基本性質：
1） 正數的補碼和原碼相同；
2） 負數的補碼等於取反後加1；
3） 0的正負兩種補碼相同；
4） 對一個補碼再求補碼等於自己；
5） 一個正數的原碼和其對應的負數的補碼相加等於模；

針對本文，我們其實只關心規則1）和2）即可。

執行個體

為方便說明現有的補碼定義（即正數的補碼等於原碼；負數的補碼等於取反加1），本文均以八進位為例。

5 – 3 //記作式A，方便後文引用= 5 + ( -3 )（下面開始轉為二進位補碼格式）= 0101 + ( 1111 – 0011 + 1 ) //展開-3的補碼形式= ( 0101 – 0011 ) + ( 1111 + 0001 ) //交換= ( 0101 – 0011 ) + ( 0000 ) //此處10000溢出為0000= 0010 //得出結果是2的補碼，也是2的原碼

2 – 3 //記作式B，方便後文引用= 2 + ( -3 )（下面開始轉為二進位補碼格式）= 0010 + ( 1111 – 0011 + 0001 ) //展開-3的補碼形式= 1111 – ( 0011 – 0010 ) + 0001 //交換= 1111 – 0001 + 0001= 1111 //得出結果是-1的補碼

由式A和式B，我們可以獲得一個感性認識了。我們放寬到更一般的情況，（X和Y為任意正整數）：

X – Y //記作式C，方便後文引用= (X的補碼) + ((-Y)的補碼) //電腦將這樣的兩個補碼將加（如果X>Y，由式A可以推得=(X – Y )的補碼；如果X
可見，電腦內部是在對X和(-Y)計算兩個補碼之和，而實際得出的結果是(X-Y)的補碼，正是我們所期望的！
至此，我們知道現有的補碼機制確實是正常工作的！
擴充
上述我們採用的補碼定義是眾所周知的（即正數的補碼等於原碼；負數的補碼等於取反加1）。那麼我們的問題來了，補碼定義可以修改嗎？ 我們針對八進位具體看下補碼定義：(X為正數)
正數X的補碼等於X的原碼；（此處可理解為正數X的補碼等於X+K，K=0000） 負數(-X)的補碼等於M-X+N，M=1111，N=0001； 我們的問題就是這裡的K、M、N是可以修改成別的值嗎？
我們嘗試修改M和N：M=1100，N=0100。我們發現，這樣的M和N對於式A和式B是沒問題的！那為何不採用呢？其實原因很簡單，但很致命：電路硬體實現取反（效果就是1111-X）很容易，但是實現1100-X這種形式的就又陷入減法計算了。畢竟我們的初衷是希望減法也能採用加法器完成，這也是我們採用引入補碼編碼整數的原因！
好吧，我們保持M=1111，接著嘗試修改N=0010，也就是將負數的補碼定義修改為取反加2。我們發現，對於式B是沒有問題的，但是式A不滿足了！其實如果此時我們同時修改正數的補碼定義為原碼加1（正數X的補碼修改為X+1），就能滿足式A了，不信的話就請試試。除了得修改正數補碼定義之外，還同時引入了一個映射的新問題！我們期望是[-8,-1]整個區間是可以一一映射到1XXX形式的補碼上，共8個數。而我們這麼修改後，-1的補碼變成了0000，而0的補碼也是0000；7的補碼反倒是1000了。所以不僅一一映射被破壞了，負數的首bit為1的補碼形式也破壞了！
那我們如果保持M=1111，修改N=0000呢？也就是將負數的補碼定義修改為僅僅取反。我們發現，此時1111和0000都是0的補碼錶示（此時規定任意一種即可），而-8則沒有對應的補碼。可見，此時僅僅浪費了一個補碼錶示（-8）而已。事實上，過去有些廠家就是這麼實現的。如果查看c語言標準，可以看到其實浪費（對於我們的例子就是-8）是允許的。
現在可以推導一下了，假設X為正數，原碼X的定義為X+K，補碼(-X)的定義為M-X+N，此時式C就變成了：
X - Y //記作式D，方便後文引用= X + (-Y)（下面開始轉為二進位補碼格式）= X + K + ( M - Y + N )（如果X>Y，= K + M + N + (X-Y)。此時分析正數(X-Y)的補碼並根據正數補碼定義可以推出：K + M + N = K，即M + N = 0。如果X結論
現在我們可以重新審視補碼機制了。其實就是利用硬體電路容易實現的取反變通地實現了減法，在實現時充分考慮了一一映射原則以及保證負數的補碼是首bit位為1的形式。