迪菲.赫爾曼(Diffie–Hellman)金鑰交換演算法

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迪菲.赫爾曼演算法是通訊線路不安全情況下，交換密鑰的一個演算法，應用於TLS協議中

 

首先說一下產生密鑰的流程，我們有這樣一種計算叫做求摸運算 mod， 

比如：27 mod 17 = 10，也就是求餘數的運算。 

 

現在有兩個通訊者A和B，我們使用一種計算 假如我們這裡選用 

3 ^ x mod 17，A和B分別產生一個隨機的整數，這個整數即為x，比如A是2，B是3，那麼A使用2計算:

3^2 mod 17 = 9 ①

B使用3計算:

3^3 mode 17 = 10 ②

然後A將9發送給B，B將10發送給A。當然這裡的9和10是可以被任何人看到。 

A收到B的10之後做這樣的計算：

10^2 mod 17 = 15 ③

B收到A的9後做這樣的計算：

9^3 mod 17 = 15 ④

這樣15就可以作為兩人通訊加密的密鑰了。 

 

突然一看還有點不明白，為什麼這樣的計算就能計算出相同的數字15？ 

mod運算的性質 性質如下：

就像普通運算一樣，他是可交換的、可結合的、可分配的，可以表示為

(a+b)mod n=((a mod n)+(b mod n))mod n

(a?b)mod n=((a mod n)?(b mod n))mod n

(a× b)mod n=((a mod n)×(b mod n))mod n

(a× (b+c))mod n=(((a× b)mod n)+((a× c)mod n)))mod n

 

A:在做③計算的時候使用的10是由②計算來的，也就是：

(3^3 mode 17)^2 mod 17 = 15 ⑤

B:做的④計算的時候使用的9是由①計算來的，也就是：

(3^2 mod 17)^3 mod 17 = 15 ⑥

那麼接下來就證明為什麼⑤和⑥會相等

(3^3 mode 17)^2 mod 17 == (3^2 mod 17)^3 mod 17

其實證明只是用到上面mod計算性質的第三條 

 

計算⑤等於以下的分解

=((3 * 3 * 3) mod 17)^2 mod 17

=(((3 mod 17) * (3 mod 17) * (3 mod 17)) mod 17)^2 mod 17

= ((((3 mod 17) * (3 mod 17) * (3 mod 17)) mod 17) * (((3 mod 17) * (3 mod 17) * (3 mod 17)) mod 17)) mod 17

=((3 mod 17) * (3 mod 17) * (3 mod 17) * (3 mod 17) * (3 mod 17) * (3 mod 17)) mod 17

= (3 mod 17)^6 mod 17

 

同理分解⑥ 也可得這個結果

= (3 mod 17)^6 mod 17

⑤⑥是相等的得證。 

在這個通訊過程中可以看到A和B分別產生了一個隨機數2和3，只要2和3不泄露，那麼其他人即使知道3 mod 17、9、10這些資訊也得不出15的這個結果。

 本文轉自：49468187

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