歸併排序及歸併排序派生出的求逆序數演算法(演算法導論2.4)

歸併排序一直以為比較簡單，不算特別重視，今天試著寫了一下，很尷尬，失敗了幾次．最後還是決定寫博記錄一下．廢話不多說，直接進正題．

演算法：歸併排序是分治法(分而治之)的一種典型應用，應用遞迴的思想，自頂向下思考：先假定MergeSort()可以將一個亂序的數組排好序，因此就可以開始"分"(將一個數組平均分成兩部分），再"治"(分別對前後部分調用MergeSort()使它們有序)，最後再寫一個合并子函數Merge()，它可以將兩個有序的數組合并，Merge()實現起來比較容易．只需要管理兩個指標，分別指向兩個子數組的開頭，開闢新記憶體儲存中間結果，遍曆完兩個數組就可以完成，時間是Θ(n).

假定n個元素的數組調用MergeSort()需要時間T(n).因此，T(n)=2T(n/2)+Θ(n)．由主定理可知：T(n)=Θ(nlogn).歸併排序演算法的時間複雜度是Θ(nlogn)，空間複雜度是Θ(n).

     由歸併排序擴充可以求逆序數．

　　逆序數的定義：如果 i < j 且A[i] > A[j].則A[i]和A[j]即為逆序數對．逆序數對的個數就叫逆序數．因此求逆序數可以通過管理兩個指標，兩次掃描數組，蠻力法求出，顯然時間複雜度是Θ(n^2).那麼有更快的辦法嗎？答案是肯定的，利用歸併排序法，稍做改進即可．在Merge()中，合并兩個已經有序的數組A,B.因為A.B有序,所以,A,B各自的逆序數是0,所以AB的逆序數等於A,B之間的逆序數.

舉個例子: A=4,6,7,9 B=2,3,5,10,13,21.在Merge中發現當前i號元素4比2大,那麼4的逆序數需要+1,又因6,7,9都排在4後面,那麼6,7,9的逆序數也應該+1,所以總體的逆序數應該+A.count-i.(如果i號元素比B[j]小,無法確定逆序數的變化,不作任何修改).

代碼:

#include<iostream>using namespace std;int count=0;//新增void Merge(int* A,int left,int mid,int right,int* C){//Merge可以將兩個有序的數組排好序,時間複雜度:o(n)int i=left;int j=mid+1;int k=left;while(i <= mid && j <= right){if(A[i] <= A[j])C[k++]=A[i++];else{C[k++]=A[j++];count += mid-i+1;//新增}}while(i <= mid)C[k++]=A[i++];while(j <= right)C[k++]=A[j++];//C[]已經有序，將C[]中資料複製回原數組A[]for(int i=left;i <= right;++i)A[i]=C[i];}void MergeSort(int* A,int left,int right,int* C)//假定MergeSort能將一個亂序數組A排好序．{if(left < right){int mid=(left+right)/2;MergeSort(A,left,mid,C);//排好一個數組1MergeSort(A,mid+1,right,C);//排好一個數組2Merge(A,left,mid,right,C); //合并兩個有序的數組}}void main(){int A[]={2,1,3,6,4,0,11,3,5};int len=sizeof(A)/sizeof(A[0]);int *C=new int[len];MergeSort(A,0,len-1,C);for(int i=0;i<len;++i)cout<<A[i]<<' ';cout<<endl;cout<<count<<endl;delete[] C;}