仿射變換詳解

仿射變換是二維平面中一種重要的變換，在映像圖形領域有廣泛的應用。許多人對“仿射”沒有一個感官的認識，我覺得很有必要先來說一下“仿射”。

所謂的“仿射變換”就是一種簡單的變換，它的變化包括旋轉、平移、伸縮，原來的直線仿射變換後還是直線，原來的平行線經過仿射變換之後還是平行線，這就是仿射。

仿射變換的矩陣是其次座標形式的變換矩陣

這個矩陣包含的變換有旋轉和平移，其實是兩個矩陣的混合體，許多文章都對這個做了很詳細的描述。仿射變換的數學公式裡，是如何做到座標點位置的平移呢？清楚這個才是弄明白仿射變換的關鍵。

這裡有一個非常重要的圖，這張圖百度百科中就有。利用此圖可以完成仿射變換公式的推導，推導如下：

一個點P在原始座標系下的座標是(Xsp,Ysp)。然後要完成旋轉操作，旋轉操作是基於原點的，如何得到旋轉之後的點的座標，這裡用到一個技巧，座標系中某個點的旋轉可以等價地去旋轉座標軸，所以有了中以(Xs0,Ys0)為中心的虛線與螢幕水平垂直的座標系。在這個座標系中確定P的座標，和在藍色座標系中確定旋轉之後P的座標是等價的。基於這個結論，我們可以通過簡單的立體幾何知識確定P在新座標系中的座標。P在新座標系中的X座標和Y座標分別是

經典的仿射變換的模型呼之欲出了。整理上面兩個式子得：

這就是仿射變換模型中旋轉部分的原理，還有一步，就是平移。

旋轉變換之後，我們確定了P點在新座標系中的位置，然後在這個位置的基礎上加上其在X軸和Y軸的位移即可

仿射變換的矩陣橫空出世。當然中對這個變換的處理更巧妙，它還是利用了不移動點移動座標系的策略，將座標系向相反方向移動了相應的距離。於是有了這個經典仿射變換模型的圖示展現。中我們可以看到，整個在對P點進行仿射變換的過程中，P點的位置並沒有移動，我們是通過不斷的座標系的調整來間接達到P點移動的效果，這充分說明了一件事：運動都是相對的。矩陣理論是運動是相對的這一哲學思想的深刻體現，有興趣大家可以閱讀一下這篇文章http://blog.csdn.net/xiaojidan2011/article/details/8213873。

其他參考文章：

http://www.cnblogs.com/shijibao001/articles/1225962.html