行列式及其相關

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行列式的公理化定義

一般講線性代數，先講矩陣理論，再講行列式，再講線性變換、線性空間、特徵值理論，二次型理論等，有的國內教材例如同濟第六版《線性代數》先講行列式再講矩陣理論，簡直反人類了，呵呵。推薦使用

- Gilbert-Strang教授的《Introduction to Linear Algebra》目前已出到第五版，網易有Strange教授的公開課視頻。
- Igor Shafarevich教授的《Linear Algebra and Geomerty》
- Alex《線性代數應該這樣學》
- 藍以中《高等代數簡明教程》

既然先講行列式，不妨先拋棄行列式的具體定義，把它當做具有某種性質的函數，用公理化的方法建立行列式理論。

定義 1(行列式)  設$M_{n\times n}$為$n$階矩陣的全體構成的集合，映射$f:M_{n\times n}\to \mathbb{R}$,且映射$f$滿足

(P1) 單位矩陣的行列式為1，即$f(e_{1},e_{2},\cdots,e_{n})=1.$

(P2) 交換矩陣$A\in M_{n\times n}$的任意兩行$\alpha_{j}$與$\alpha_{k}$，行列式改變符號，即$f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{j},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})=-f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{j},\cdots,\alpha_{n})$.

(P3) 映射$f$對第$k$個變數具有線性性，即

$f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k}+\beta_{k},\cdots,\alpha_{n})=f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})+f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\beta_{k},\cdots,\alpha_{n}),$

$f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,t\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})=t f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n}),\,\,t\in\mathbb{R}.$

若確實唯一存在滿足性質P(1)、P(2)、P(3)的映射**$f:M_{n\times n}\to \mathbb{R}$，則稱$f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})$為矩陣$A$的行列式，記作$\det(A)$或者$|A|$.在未確定這種映射的存在唯一性之前，我們仍採用$f(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})$或者$f(A)$的記號，看能否推出行列式的更多其他性質。

由行列式的定義可推出的性質

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(P4) 若方陣的兩行相同，則該矩陣的行列式為零。

Proof. 交換相同的兩行的位置，根據性質P(2)有
$$
f(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})=-f(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n}),
$$
故$f(A)=0$.

P(5) 把矩陣的某一行的$t$倍加到其他行，行列式不改變。

Proof.  根據性質P(3)有$f(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{j}+t\alpha_{k},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})=f(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{i},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})+tf(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n}).$

根據性質P(4),$f(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})=0$.

故
$$
f(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{j}+t\alpha_{k},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n})=f(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{i},\cdots,\alpha_{k},\cdots,\alpha_{n}).
$$
P(6) 矩陣的某行全為零，則該矩陣的行列式為零。

Proof. 根據性質P(3)，易得$f(A)=2f(A)$，故$f(A)=0.$

P(7) 上三角行列式

$$
U=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ &a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ {\Huge0} & & &a_{nn}\end{array}\right)
$$

 

的行列式$f(U)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$

Proof. 不妨先設$a_{jj}\neq 0, j=1,2,\cdots,n.$則由$Gauss-Jordan$消元法，**僅**用某行的常數倍加到另一行的初等行邊行變換
$$
U=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ &a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ {\Huge0} & & &a_{nn}\end{array}\right)\to\widetilde{U}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & & & \\ &a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & &a_{nn}\end{array}\right),
$$
根據P(5)有，$f(U)=f(\widetilde{U}).$ 而根據P(3)易得$f(\widetilde{U})=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$

若$\exists j\in \{1,2,\cdots,n\},s.t. a_{jj}=0.$則由初等行變換不改變矩陣的秩知，
$$
U=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ &a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ {\Huge0} & & &a_{nn}\end{array}\right)\to\widetilde{U}=\left(\begin{array}{cccc} \widetilde{a}_{11} & & & \\ &\widetilde{a}_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & &0\end{array}\right),
$$
從而得$f(U)=f(\widetilde{U})=0=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$

同理可得下三角形矩陣的行列式$f(L)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$

推論 若存在滿足性質滿足性質P(1)、P(2)、P(3)的映射$f:M_{n\times n}\to \mathbb{R}$，則必唯一。

Proof.  由矩陣$A$等價標準型（僅用交換兩行次序和把某行的常數倍加到另一行上，初等變換得到的）的唯一性
$$
A\to\widetilde{A}=\left(\begin{array}{cccc} \widetilde{a}_{11} & & & \\ &\widetilde{a}_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & &\widetilde{a}_{nn}\end{array}\right),
$$
得$f(A)=g(A)=\widetilde{a}_{11}\widetilde{a}_{22}\cdots \widetilde{a}_{nn}.\forall A\in M_{n\times n}. $故$f=g$唯一性得證.

P(8) 當$A$為奇異矩陣時，$f(A)=0$;若$A$為可逆矩陣，則$f(A)\neq 0.$反之也成立。

Proof.  證明思路為$A\to U \to D.$ 參考P(7)的推論的證明.

P(9) 關於矩陣乘法的行列式
$$
f(AB)=f(A)f(B).
$$
Proof. 不妨設$A,\,B$均為非奇異矩陣，否則
$$
rank(AB)\leq \min\{rank(A),rank(B)\}<n,
$$
由性質P(8)得
$$
f(AB)=f(A)f(B)=0.
$$
設
$$
g(B)=\frac{f(AB)}{f(A)}
$$
則易驗證$g(B)$滿足性質P(1),P(2),P(2)由P(7)的推論行列式的唯一性得$f(B)=g(B)$, 故命題得證.

推論  $f(A^{m})=f^{m}(A),\,\,m\geq -1,\,m\in \mathbb{Z}.$

P(10) 矩陣的行列式與其轉置矩陣的行列式相同.

Proof. 由Gauss消元法可得矩陣的$LU$分解，即$A=LU$，其中$L$為下三角矩陣，$U$為上三角矩陣.由性質P(9)與P(7)得
$$
f(A)=f(LU)=f(L)f(U)=f(L^{T})f(U^{T})=f(U^{T}L^{T})=f(A^{T}).
$$

行列式函數的存在性

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基本思路是不斷地利用線性性和P(1)-P(8)得到
$$
\det(A)=\sum_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}(-1)^{\tau(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}a_{1\,p_{1}}a_{2\,p_{2}}\cdots a_{n\,p_{n}}.
$$
注意這裡$p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$為$123\cdots n$的一個排列不表示乘積，$\tau(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})$為該排列的逆序數. 這樣就得到了存在性，結合P(7)的推論就證明了行列式函數的存在唯一性。

一個副產品是
$$
\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{22}A_{22}+\cdots+a_{nn}A_{nn},
$$
這個公式可以為行列式降階，因此可以利用數學歸納法給出一個新的行列式定義.只須定義一階行列式即可！

行列式的具體計算

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方法一：利用初等行(或列)變換變成對角矩陣。（俗稱**“打洞”**）

方法二：不斷降階。

方法三：其他奇淫技巧。

行列式的應用

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能回想起來和行列式相關的應用有

- 判斷矩陣是否可逆
- 求矩陣的特徵值
- 線性方程組的克萊姆法則
- 二次型的對稱矩陣的正定性
- 二階、三階行列式的幾何意義(面積、體積)以及在平面、立體幾何中的應用
- Jocobi行列式與重積分的變數替換以及外微分之間的關係
- Wronsky行列式與函數的線性相關性
- 範德蒙行列式與Lagrange插值多項式的存在性等

 

行列式及其相關