判斷二叉樹是否是二叉搜尋樹

問題給定一棵二叉樹，判定該二叉樹是否是二叉搜尋樹（Binary Search Tree）？ 解法1:暴力搜尋首先說明一下二叉樹和二叉搜尋樹的區別。二叉樹指這樣的樹結構，它的每個結點的孩子數目最多為2個；二叉搜尋樹是一種二叉樹，但是它有附加的一些約束條件，這些約束條件必須對每個結點都成立：

• 結點node的左子樹所有結點的值都小於node的值。
• 結點node的右子樹所有結點的值都大於node的值。
• 結點node的左右子樹同樣都必須是二叉搜尋樹。

該問題在面試中也許經常問到，考察的是對二叉搜尋樹定義的理解。初看這個問題，也許會想這樣來實現： 假定當前結點值為k。對於二叉樹中每個結點，判斷其左孩子的值是否小於k，其右孩子的值是否大於k。如果所有結點都滿足該條件，則該二叉樹是一棵二叉搜尋樹。 很不幸的是，這個演算法是錯誤的。考慮下面的二叉樹，它符合上面演算法的條件，但是它不是一棵二叉搜尋樹。

    10   /  \  5   15     -------- binary tree (1)     /  \    6    20

那麼，根據二叉搜尋樹的定義，可以想到一種暴力搜尋的方法來判定二叉樹是否為二叉搜尋樹。

 假定當前結點值為k。則對於二叉樹中每個結點，其左子樹所有結點的值必須都小於k，其右子樹所有結點的值都必須大於k。

暴力搜尋演算法代碼如下，雖然效率不高，但是它確實能夠完成工作。該解法最壞情況複雜度為O（n^2)，n為結點數目。（當所有結點都在一邊的時候出現最壞情況）

 

 1 /*判斷左子樹的結點值是否都小於val*/ 2 bool isSubTreeLessThan(BinaryTree *p, int val)  3 { 4   if (!p) return true; 5   return (p->data < val && 6           isSubTreeLessThan(p->left, val) && 7           isSubTreeLessThan(p->right, val)); 8 } 9  /*判斷右子樹的結點值是否都大於val*/10 bool isSubTreeGreaterThan(BinaryTree *p, int val) 11 {12   if (!p) return true;13   return (p->data > val &&14           isSubTreeGreaterThan(p->left, val) &&15           isSubTreeGreaterThan(p->right, val));16 }17  /*判定二叉樹是否是二叉搜尋樹*/18 bool isBSTBruteForce(BinaryTree *p) 19 {20   if (!p) return true;21   return isSubTreeLessThan(p->left, p->data) &&22          isSubTreeGreaterThan(p->right, p->data) &&23          isBSTBruteForce(p->left) &&24          isBSTBruteForce(p->right);25 }

 

 

一個類似的解法是：對於結點node，判斷其左子樹最大值是否大於node的值，如果是，則該二叉樹不是二叉搜尋樹。如果不是，則接著判斷右子樹最小值是否小於或等於node的值，如果是，則不是二叉搜尋樹。如果不是則接著遞迴判斷左右子樹是否是二叉搜尋樹。（代碼中的maxValue和minValue函數功能分別是返回二叉樹中的最大值和最小值，這裡假定二叉樹為二叉搜尋樹，實際返回的不一定是最大值和最小值） 

 1 bool isBST(struct node* node)  2 {  3   if (node==NULL) return true; 4   //如果左子樹最大值>=當前node的值，則返回false 5   if (node->left!=NULL && maxValue(node->left) >= node->data)  6     return false; 7   // 如果右子樹最小值<=當前node的值，返回false 8   if (node->right!=NULL && minValue(node->right) <= node->data)  9     return false;10   // 如果左子樹或者右子樹不是BST，返回false11   if (!isBST(node->left) || !isBST(node->right)) 12     return false;13   // 通過所有測試，返回true14   return true; 15 } 

 

解法2：更好的解法以前面提到的binary tree（1）為例，當我們從結點10遍曆到右結點15時，我們知道右子樹結點值肯定都在10和+INFINITY（無窮大）之間。當我們遍曆到結點15的左孩子結點6時，我們知道結點15的左子樹結點值都必須在10到15之間。顯然，結點6不符合條件，因此它不是一棵二叉搜尋樹。該演算法代碼如下： 

bool isBST2(struct node* node) {      return isBSTUtil(node, INT_MIN, INT_MAX);}/*給定的二叉樹是BST則返回true，且它的值  >min 以及 < max.*/bool isBSTUtil(struct node* node, int min, int max) {      if (node==NULL) return true;      // 如果不滿足min和max約束，返回false      if (node->data<=min || node->data>=max) return false;      // 遞迴判斷左右子樹是否滿足min和max約束條件      return          isBSTUtil(node->left, min, node->data) &&          isBSTUtil(node->right, node->data, max)      );}

 

由於該演算法只需要訪問每個結點1次，因此時間複雜度為O（n），比解法1效率高很多。

解法3：中序遍曆演算法因為一棵二叉搜尋樹的中序遍曆後其結點值是從小到大排好序的，所以依此給出下面的解法。該解法時間複雜度也是O（n）。

bool isBSTInOrder(BinaryTree *root) {  int prev = INT_MIN;  return isBSTInOrderHelper(root, prev);}/*該函數判斷二叉樹p是否是一棵二叉搜尋樹，且其結點值都大於prev*/bool isBSTInOrderHelper(BinaryTree *p, int& prev) {  if (!p) return true;  if (isBSTInOrderHelper(p->left, prev))   { // 如果左子樹是二叉搜尋樹，且結點值都大於prev    if (p->data > prev)     { //判斷當前結點值是否大於prev，因為此時prev已經設定為已經中序遍曆過的結點的最大值。      prev = p->data;      return isBSTInOrderHelper(p->right, prev); //若結點值大於prev，則設定prev為當前結點值，並判斷右子樹是否二叉搜尋樹且結點值都大於prev。     } else {      return false;    }  }  else {    return false;  }}

 

轉：http://blog.csdn.net/ssjhust123/article/details/7771096

Wayne學習園地 http://www.cnblogs.com/Bob-FD