DFA&NFA（簡易比較）

1.曆史

 

Regex萌芽於1940年代的神經生理學研究，由著名數學家Stephen Kleene第一個正式描述。具體地說，Kleene歸納了前述的神經生理學研究，在一篇題為《正則集代數》的論文中定義了“正則集”，並在其上定義了一個代數系統，並且引入了一種記號系統來描述正則集，這種記號系統被他稱為“Regex”。在理論數學的圈子裡被研究了幾十年之後，1968年，後來發明了UNIX系統的Ken Thompson第一個把Regex用於電腦領域，開發了qed和grep兩個實用文本處理工具，取得了巨大成功。在此後十幾年裡，一大批一StreamCompute機科學家和駭客對Regex進行了密集的研究和實踐。在1980年代早期，UNIX運動的兩個中心貝爾實驗室和加州大學伯克利分校分別圍繞grep工具對Regex引擎進行了研究和實現。與之同時，編譯器“龍書”的作者Alfred Aho開發了Egrep工具，大大擴充和增強了Regex的功能。此後，他又與《C程式設計語言》的作者Brian Kernighan等三人一起發明了流行的awk文本編輯語言。到了1986年，Regex迎來了一次飛躍。先是C語言頂級駭客Henry Spencer以原始碼形式發布了一個用C語言寫成的Regex程式庫（當時還不叫open source），從而把Regex的奧妙帶入尋常百姓家，然後是技術怪傑Larry Wall橫空出世，發布了Perl語言的第一個版本。自那以後，Perl一直是Regex的旗手，可以說，今天Regex的標準和地位是由Perl塑造的。Perl 5.x發布以後，Regex進入了穩定成熟期，其強大能力已經征服了幾乎所有主流語言平台，成為每個專業開發人員都必須掌握的基本工具。

 

2.引用

理解DFA和NFA
Regex引擎分成兩類，一類稱為DFA（確定性有窮自動機），另一類稱為NFA（非確定性有窮自動機）。兩類引擎要順利工作，都必須有一個正則式和一個文本串，一個捏在手裡，一個吃下去。DFA捏著文本串去比較正則式，看到一個子正則式，就把可能的匹配串全標註出來，然後再看正則式的下一個部分，根據新的匹配結果更新標註。而NFA是捏著正則式去比文本，吃掉一個字元，就把它跟正則式比較，匹配就記下來：“某年某月某日在某處匹配上了！”，然後接著往下幹。一旦不匹配，就把剛吃的這個字元吐出來，一個個的吐，直到回到上一次匹配的地方。
DFA與NFA機制上的不同帶來5個影響：
1. DFA對於文本串裡的每一個字元只需掃描一次，比較快，但特性較少；NFA要翻來覆去吃字元、吐字元，速度慢，但是特性豐富，所以反而應用廣泛，當今主要的Regex引擎，如Perl、Ruby、Python的re模組、Java和.NET的regex庫，都是NFA的。
2. 只有NFA才支援lazy和backreference等特性；
3. NFA急於邀功請賞，所以最左子正則式優先匹配成功，因此偶爾會錯過首選結果；DFA則是“最長的左子正則式優先匹配成功”。
4. NFA預設採用greedy量詞（見item 4）；
5. NFA可能會陷入遞迴調用的陷阱而表現得效能極差。

我這裡舉一個例子來說明第3個影響。

例如用正則式/perl|perlman/來匹配文本 ‘perlman book’。如果是NFA，則以正則式為導向，手裡捏著正則式，眼睛看著文本，一個字元一個字元的吃，吃完 ‘perl’ 以後，跟第一個子正則式/perl/已經匹配上了，於是記錄在案，往下再看，吃進一個 ‘m’，這下糟了，跟子式/perl/不匹配了，於是把m吐出來，向上彙報說成功匹配 ‘perl’，不再關心其他，也不嘗試後面那個子正則式/perlman/，自然也就看不到那個更好的答案了。

如果是DFA，它是以文本為導向，手裡捏著文本，眼睛看著正則式，一口一口的吃。吃到/p/，就在手裡的 ‘p’ 上打一個鉤，記上一筆，說這個字元已經匹配上了，然後往下吃。當看到 /perl/ 之後，DFA不會停，會嘗試再吃一口。這時候，第一個子正則式已經山窮水盡了，沒得吃了，於是就甩掉它，去吃第二個子正則式的/m/。這一吃好了，因為又匹配上了，於是接著往下吃。直到把正則式吃完，心滿意足往上報告說成功匹配了 ‘perlman’。

由此可知，要讓NFA正確工作，應該使用 /perlman|perl/ 模式。

通過以上例子，可以理解為什麼NFA是最左子式匹配，而DFA是最長左子式匹配。實際上，如果仔細分析，關於NFA和DFA的不同之處，都可以找出道理。而明白這些道理，對於有效應用Regex是非常有意義的。

 

Regex的形式定義故意非常精簡，避免定義多餘的量詞 ? 和 +，它們可以被表達為: a+ = aa* 和 a? = (a|ε)。有時增加補運算元 ~ ；~R 指示在 Σ* 上的不在 R 中的所有字串的集合。補運算元是多餘的，因為它使用其他運算元來表達(儘管計算這種表示的過程是複雜的，而結果可能指數性的增大)。
這種意義上的Regex可以表達正則語言，精確的是可被有限狀態自動機接受的語言類。但是在簡潔性上有重要區別。某類正則語言只能用大小指數增長的自動機來描述，而要求的Regex的長度只線性增長。Regex對應於喬姆斯基層級的類型-3文法。在另一方面，在Regex和不導致這種大小上的爆炸的非確定有限狀態自動機(NFA)之間有簡單的映射；為此 NFA 經常被用作Regex的替代表示。
我們還要在這種形式化中研究表達力。如下面例子所展示的，不同的Regex可以表達同樣的語言: 這種形式化中存在著冗餘。
有可能對兩個給定Regex寫一個演算法來判定它們所描述的語言是否本質上相等，簡約每個運算式到極小確定有限自動機，確定它們是否同構（等價）。
這種冗餘可以消減到什麼程度? 我們可以找到仍有完全表達力的Regex的有趣的子集嗎? Kleene 星號和並集明顯是需要的，但是我們或許可以限制它們的使用。這提出了一個令人驚奇的困難問題。因為Regex如此簡單，沒有辦法在文法上把它重寫成某種規範形式。過去公理化的缺乏導致了星號高度問題。最近 Dexter Kozen 用克萊尼代數公理化了Regex。
很多現實世界的“Regex”引擎實現了不能用Regex代數表達的特徵。

 

 

目前正則引擎支援的語言種類：

 

引擎類型	程式
DFA	awk(大多數版本)、egrep（大多數版本）、flex、lex、MySQL、Procmail
傳統型 NFA	GNU Emacs、Java、grep（大多數版本）、less、more、.NET語言、PCRE library、Perl、PHP（所有三套正則庫）、Python、Ruby、set（大多數版本）、vi
POSIX NFA	mawk、Mortice Lern System's utilities、GUN Emacs（明確指定時使用）
DFA/NFA混合	GNU awk、 GNU grep/egrep、 Tcl