Dice (I) lightOJ 1145

**題目大意**：

N個K面色子排成一列，使得朝上那面的數字和為S，有幾種排法？

**題目類型**：

動態規劃

**解題思路**：

dp[i][j]儲存前i個色子總和為j有幾種方法。
轉移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K];

狀態有N*S個，轉移複雜度是K，樸素的做法肯定會逾時，那如何最佳化呢？

把DP數組想象成平面二維矩陣，再想象下轉移方程，就會發現dp[i][j]和dp[i][j-1]的轉移方程有很大的重疊部分，具體如下：

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K];

dp[i][j-1]=           dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K]+dp[i-1][j-K-1];

因此可以得到dp[i][j]=dp[i][j-1]-dp[i-1][j-K-1]+dp[i-1][j-1];

轉移已經最佳化到O(1)複雜度了，但dp數組是N*S=1500w的複雜度，因此要用滾動數組最佳化一下，變成O(S)。

雖然這道題歸類為DP，但由於沒有任何特殊限制，可以有更高效的方法，用容斥原理可達O(N)複雜度。

設f(i)=N個色子裡至少有i個色子超過K，且色子總和為S的方法數;

則答案為f(0)-f(1)+f(2)-f(3)...±f(N)

f(i)的求法：N個色子選i個有C(N,i)種(這i個是保證要超過K的，其他的超不超過無所謂)，每種情況下要把S-i*K分成N份且每份至少為1。所以f(i)=C(N,i)*C(S-i*K-1,N-1);