異或的疑惑

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異或的疑惑

異或，XOR，當兩數值相同為否，而數值不同時為真。

異或，有人叫半加、數學系的叫按位模2加

交換律：a ^ b = b ^ a;

結合律：a ^ ( b ^ c ) = ( a ^ b ) ^ c

恒等律：a ^ 0 = a

歸零律：a ^ a = 0

自反律：a ^ b ^ b = a ^ 0 = a

 

模2運算

模2運算是一種二進制演算法，與四則運算相同，模2運算也包括模2加、模2減、模2乘、模2除四種二進制運算。而且，模2運算也使用與四則運算相同的運算子，即“＋”表示模2加，“－”表示模2減，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。與四則運算不同的是模2運算不考慮進位和借位，即模2加法是不帶進位的二進制加法運算，模2減法是不帶借位的二進制減法運算。這樣，兩個二進制位相運算時，這兩個位的值就能確定運算結果，不受前一次運算的影響，也不對下一次造成影響。

 

①模2加法運算定義為：

0＋0＝0        0＋1＝1        1＋0＝1        1＋1＝0

例如0101＋0011＝0110，列豎式計算：

  0 1 0 1

＋0 0 1 1

──────

  0 1 1 0

 

②模2減法運算定義為：

0－0＝0        0－1＝1        1－0＝1        1－1＝0

例如0110－0011＝0101，列豎式計算：

   0 1 1 0

－ 0 0 1 1

──────

   0 1 0 1

 

③模2乘法運算定義為：

0×0＝0        0×1＝0        1×0＝0        1×1＝1

多位二進制模2乘法類似於普通意義上的多位二進制乘法，不同之處在於後者累加中間結果（或稱部分積）時採用帶進位的加法，而模2乘法對中間結果的處理方式採用的是模2加法。例如1011×101＝100111，列豎式計算：

       1 0 1 1

     ×  1 0 1

    ──────

       1 0 1 1

     0 0 0 0

＋ 1 0 1 1

────────

   1 0 0 1 1 1

 

④模2除法運算定義為：

0÷0＝?        0÷1＝0        1÷0＝?        1÷1＝1

多位二進制模2除法也類似於普通意義上的多位二進制除法，但是在如何確定商的問題上兩者採用不同的規則。後者按帶借位的二進制減法，根據餘數減除數夠減與否確定商1還是商0，若夠減則商1，否則商0。多位模2除法採用模2減法，不帶借位的二進制減法，因此考慮餘數夠減除數與否是沒有意義 的。實際上，在CRC運算中，總能保證除數的首位為1，則模2除法運算的商是由余數首位與除數首位的模2除法運算結果確定。因為除數首位總是1，按照模2 除法運演算法則，那麼餘數首位是1就商1，是0就商0。例如1100100÷1011＝1110……110，列豎式計算：

               1 1 1 0

       ────────

1 0 1 1〕1 1 0 0 1 0 0

      －1 0 1 1

      ──────

           1 1 1 1

        － 1 0 1 1

       ──────

             1 0 0 0

          － 1 0 1 1

         ──────

               0 1 1 0

            － 0 0 0 0

           ──────

                 1 1 0

 

模2除（按位除）

 

模2除做法與算術除法類似，但每一位除（減）的結果不影響其它位，即不向上一位借位。所以實際上就是異或。然後再移位移位做下一位的模2減。步驟如下：

 

a、用除數對被除數最高几位做模2減，沒有借位。

b、除數右移一位，若餘數最高位為1，商為1，並對餘數做模2減。若餘數最高位為0，商為0，除數繼續右移一位。

c、一直做到餘數的位元小於除數時，該餘數就是最終餘數。

 

暈！都是異或！疑惑！

 

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