差分約束學習筆記

         這幾天學了差分約束，總結一下。

        先從百度百科摘錄差分約束系統定義：

        如果一個系統由n個變數和m個約束條件組成，其中每個約束條件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),則稱其為差分約束系統(system of difference constraints)。亦即，差分約束系統是求解關於一組變數的特殊不等式組的方法。

        差分約束可以轉化話單源最短路求解。因為單源最短路徑滿足三角不等式d[v] <= d[u] + w(u, v), 這裡的 <= 可以為改 >= 只要改變一下初始化條件即可。

 

        差分約束題目有兩種，一種求最大值，另外一種求最小值。

       （1）當題目是求滿足給定不等式的最小值時，就是求圖的最長路。

        建圖方式如下：a – b >= c，對應於邊b –> a w(b, a) = c, 然後求最短路；判斷條件是：d[v] <= d[u] + w(u, v), 初始化d[]為-INF. 這樣求出的d[]就是滿足條件的最小值。原因很簡單，因為d[i] 是從-INF開始增大，根據不等式逐漸增大，當滿足所有不等式時，那麼d[i]肯定是最小的了。

       （2）當題目是求滿足給定不等式的最大值時，就是求圖的最短路。

        建圖方式如下：a – b <= c，對應於邊b –> a w(b, a) = c, 然後求最長路；判斷條件是：d[v] >= d[u] + w(u, v), 初始化d[]為INF.這樣求出的d[]就是最大值。原因和上面一樣，因為是從INF逐漸減小的，當滿足完所有條件時，就停止。那麼d[i]是最大的了。

 

       常見單源最短路徑方法有bellman_ford, spfa, Dijkstra

       bellman_ford演算法，適用於邊值負權的圖，還能判斷是否存在負權迴路，它是把所有的邊都鬆弛n-1次。演算法複雜度為O(VE),這個方法效率不高，在資料規模大時，往往會TLM。

       spfa演算法，是bellman_ford演算法的改進版。它通過一個隊列或棧，來儲存需要更新的頂點。它減去了bellman演算法很多不必要的鬆弛,因此它的效率比bellman要好,為O(ke)。

       Dijkstra演算法，它只適用於邊值為非負的圖上。它基於貪心，每次選取最短的邊。可以用heap來最佳化，在正權圖也可以考慮。

 

       體會：雖然bellman_ford不及spfa的效率，但它在判斷是否存在負權迴路比spfa方便。它能判斷不連通的圖，而spfa判斷不連通圖時有可能不準確，當開始的源點到達不了某些頂點時，那麼那些頂點就無法檢驗了。為此，spfa需要添加一個超源點來使得圖連通（還有一個方法：就是先把所有頂點入隊），而bellman不需要添加超源點， 因為它是對圖的每一條邊都進行n-1次鬆弛。有時候超源點不好添加，這時可以考慮用bellman。

       還有一點，當適用spfa添加超源點使得圖連通（超源點S0 到其他頂點距離都為0）時，用最短路求出的解， 除了滿足給定的不等式外，還會滿足下列的不等式：

        S1 – S0 <= 0

        S2 – S0 <= 0

        …

        Sn – S0 <= 0

也就是說S1 ~ Sn是 < 0 的，這個對不同問題，要具體分析。這些額外滿足的不等式，不能與題目要求的矛盾。