標籤：np完全 難解 旅行商 演算法 演算法之道
《演算法之道》精華 難解問題部分
- 本書作者縐恒明，作者另有一本書《資料結構之弦》，以及《作業系統之哲學原理》都是很好的書
- 這本書可以算得上是深入淺出，文筆很好，作者添加了很多自己的思考
- 本文包括難解問題部分
第十三章 易解與難解
- 易解指的是多項式問題，難解指的是指數級問題
- 決策問題
- 需要輸出答案是/否
- 若回答為是，通常需要一個證人來證明。對一個潛在證人，證明之後即為真證人
- 最佳化問題和決策問題之間可以相互轉化
- P類問題
- 確定性多項式時間可解
- 對於一個決策問題，輸入的大小為n，能在n的多項式時間內解決，正確輸出是/否
- NP類問題
- 非確定性多項式時間可解
- 對於一個決策問題，大小為n的潛在證人，能在n的多項式時間內解決，正確輸出此證人是否為真
- P類問題指的是能否多項式時間給出答案，NP類問題指的是能否在多項式時間內判斷一個潛在答案是否正確
- （確定性）圖靈機
- 圖靈機為一個狀態機器，根據目前狀態、下一個輸入字元確定輸出、磁頭移動方向、下一個狀態
- 任一個問題、演算法都能表述為一個字串，因此圖靈機可以解決很多問題
- 非確定性圖靈機
- 與確定性圖靈機相比，給定狀態與輸入可以有多種選擇
- 能夠同時進入所有狀態路徑，且能做出最好的選擇以達到接受狀態
- 非確定性演算法：在非確定性圖靈機上啟動並執行演算法
- NP問題的另一個定義：使用非確定性演算法，在多項式時間內解決
- P與NP的關係
- 所有P類問題都是NP的
- 所有NP不一定是P，直覺如此，但無法證明
- 部分NP為P，目前已經找到多項式解法，目前沒有找到多項式解法的NP問題稱為NP-hard
第十四章 NP完全問題
- 如果NP裡每一個問題都可以多項式時間規約到S，則S稱為NP難（嚴謹的定義）。S不比NP裡面任一問題容易
- 如果問題S既是NP難，又是NP裡的問題，則稱為NP完全問題
- NP完全的屬性
- 非確定性演算法多項式時間可解
- 完全：解決一個就解決了所有NP完全問題
- 若找到一個NP完全問題的確定性解法，就證明了NP=P
- 若找到一個NP難最佳化問題的多項式時間解，就證明了NP=P
- NP完全的意義：若能證明一個問題為NP完全問題，則無需再尋找精確解，找到啟發性的近似解即可
- 常見NP完全問題
- 3-SAT
- 整數分割
- 頂點覆蓋
- 漢密爾頓迴路 可規約至旅行商問題
- 完全子圖
- 圖的著色
- 旅行商
- 整數規劃屬於NP難問題，但不是NP問題，因此不是NP完全問題
第十五章 無解與近似
- NP完全只是NP裡最難的問題，目前沒有找到多項式解法
- 難解問題不存在多項式解法
- 不可決定問題：是無解的，即使是指數級也無濟於事。但又潛在證人
- 對於NP完全和難解問題，可以嘗試找出次優解
- 智能窮舉
- 能找的最優解
- 兩種剪枝策略：回溯法、分支限界
- 如八皇后問題
- 近似演算法
- 能找到近似的解
- 如聚類問題、啟發學習法搜尋、類比退火、遺傳演算法
- 本地搜尋
- 一種貪婪策略
- 不斷向更優的可行解移動，可能僅能找到局部最優解
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