[數位影像處理]映像去噪初步(2)--非線性濾波器

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1.非線性處理與線性處理的區別

    上一篇博文的內容，是關於均值濾波器的。比如說像算術均值濾波器，幾何均值濾波器。這以類型的濾波器的常常被用於剔除某些不需要的頻率成分，或者選擇需要的頻率成分，從而達到去噪的目的。這樣的濾波器，被稱為線性濾波器。

    然而，還有一些特殊濾波器，他們被稱為非線性濾波器。其代表為中央值濾波器。所謂中央值濾波器，就是將一定範圍內的資料(對於映像而言，是像素的灰階值)進行排序，選擇中央值作為濾波器的輸出。

    中央值濾波器的目的並不是頻率成分的選擇，而是求root訊號。關於root訊號的定義，[文獻1]中是這樣給出的。

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定義：對於任意訊號，使用中央值濾波器進行有限次處理，直到所得到的限號不變為止。中央值濾波器處理前後，如果這個訊號列沒有任何變化，那麼將這個訊號列稱為這個濾波器的root訊號。

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    對於中央值濾波器來講，可以完美去除被椒鹽雜訊汙染的root訊號。對於root訊號，有如下的性質。對於以下定理的證明與詳細說明，請參考[文獻2][文獻3]。

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定理1：如果訊號列{x(i)}是單調遞增或單調遞減的，那麼對於任何尺寸的中央值濾波器，這個訊號列都是root訊號。

定理2：如果訊號列{x(i)}是在從i開始的m個訊號之間的局部單調訊號的話，那麼對於尺寸為N=2M+1(M<=m-2)的中央值濾波器，這樣的訊號為這個濾波器的root訊號。

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2.幾個典型的非線性濾波器    2.1 中央值濾波器 (Median Filter)

    正如第一節所敘述的，中央值濾波器可以有效去除椒鹽雜訊，並且不會使得映像模糊。我們將一副映像染上椒鹽雜訊，然後使用不同尺寸的中央值濾波器去進行處理。所得的結果的畫質使用SSIM去評價。

    首先，將映像染上鹽粒密度為0.15，胡椒密度為0.15的椒鹽雜訊，使用3x3,5x5,7x7和9x9四種不同尺寸的中值濾波器去處理映像。所得到的結果，如下表所示。

由所示，可以看出，所用濾波器尺寸不同，得到的結果是不同的，尺寸較大的濾波器得到了不太好的結果。隨著迴圈次數的增加，映像的SSIM逐漸層化，最後趨近於穩定。下面是迴圈次數為30時候，4種尺寸濾波器得到的結果。

     為了驗證雜訊與實驗結果的影響，將映像染上鹽粒密度為0.35，胡椒密度為0.35的椒鹽雜訊，在進行濾波實驗，可以得到如下曲線。

     實驗結果給出，尺寸較小的的中值濾波器，其收斂到root訊號較為緩慢，其次，對於高雜訊的映像，其修複結果是不太好的。

     總結上述實驗，可以得到三個有用的結論。

     1.中央值濾波器在處理過程中，不斷在尋找root訊號。反覆數回之後，其結果收斂，基本不改變。

     2.對於不同的映像，不同的雜訊，最適合本幅映像的中央值濾波器的尺寸是不同的。並不是尺寸越小越好。

     3.尺寸小的濾波器，收斂速度慢。反之，尺寸大的濾波器，收斂較快。

     2.2 自適應中央值濾波器     我們要很好的使用中央值濾波器，只有一個要點！就是找一個最適合的濾波器尺寸，使得原圖就是這個濾波器的root訊號，那麼，就可以得到一個完美的結果（當然，最適合的濾波器是不存在的）。那麼，這裡就可以有個想法了，在執行濾波器操作的時候，儘可能多的嘗試各種尺寸，選擇一個最適合的，讓原圖很接近這個尺寸的濾波器的root訊號。這樣的話，就可以得到一個不錯的結果了。

    當然，之對於椒鹽雜訊的話，還可以加入這樣一個功能，由於雜訊的灰階值是已知的(鹽粒雜訊為1，胡椒雜訊0)，那麼只有當中央值不是0或者1的時候，濾波器生效，否則，擴大濾波器尺寸。

    歸納上述思想，可以得到如下的虛擬碼。

START:   S_xy = read(f(x,y),[size_S_xy]); z_min = min(S_xy); z_max = max(S_xy); z_med = median(S_xy);LOOP A :  A_1 = z_med - z_min;          A_2 = z_med - z_max;                    if  ((A_1 >0) and (A_2 < 0))                 goto LOOP B;          else  size_S_xy++;                goto START;                    if  (size_S_xy <= size_max)               g(x,y) = z_med;                   goto NEXT;LOOP B :  B_1 = f(x,y) - z_min;          B_2 = f(x,y) - z_max;          if  ((B_1 >0) and (B_2 < 0))                 g(x,y) =  f(x,y) ;                   goto NEXT;          else  g(x,y) = z_med;                 goto NEXT;NEXT :    x,y移動到下一個像素點          if (x > x_max)and(y>y_max)              return;　　　　　else goto START;

     來看看這個濾波器的效果，將映像加一個很強的雜訊椒鹽雜訊。鹽粒密度為0.3，胡椒密度為0.3。同時將同樣的映像，使用5x5的中央值濾波器。兩個濾波器的不同，還是很容易看出來的。

      2.3 最大值濾波器與最小值濾波器      最大值濾波器與最小值濾波器這兩個濾波器，跟中央值濾波器有些類似。同樣是一個目的，用於尋找root訊號，只不過，最大值濾波器可以用於去除鹽粒雜訊，相反，最小值濾波器可以用於取出胡椒雜訊。同樣的，最大值與最小值濾波器不適用於去除，同時含有鹽粒雜訊與胡椒雜訊的圖片。

      由於這個很簡單，結果就不貼了。

     2.4 中點濾波器(midpoint filter)

     中點濾波器，糅合了均值濾波器和非線性排序處理。這樣的濾波器對於去除高斯雜訊與均勻雜訊有很好的效果。

我們使用這個濾波器，與平均濾波器做個比較吧。其結果顯示在。

    圖片上，縱軸表示畫質SSIM，橫軸表示雜訊的方差。綠線表示中點濾波器，紅線表示算術濾波器。可以看出，均勻雜訊上，中點濾波器的效能還是優於算術平均濾波器的。(當然，這可能跟選用的評價映像有關，但是基本是這個趨勢)。

    2.4 修正的阿爾法均值濾波器    從很小的時候開始，對唱歌節目就有這樣的一個映像，評委打分的時候，總是要去掉一個最高分，去掉一個最低分，然後求均值。這個是個什麼樣的原理呢？其實這是一個很典型的濾波器，可以更好的反應一個選手的水平。    在影像處理領域，也有一個類似的處理方法，其運算式如下。    簡單的理解一下這個濾波器，首先，我們將濾波範圍 的個資料進行排序，從大到下的順序去除個資料，從小到大的順序去除個資料。將剩下的資料計算均值。

    這樣的濾波器，很擅長去除椒鹽雜訊與其他類型雜訊一起汙染過的圖片。依然是實驗，首先將圖片染上鹽粒密度為0.1，胡椒密度為0.1的椒鹽雜訊。然後，再將這幅映像染上高斯雜訊。在將圖片進行去噪。得到的結果如下所示。

    可以出，對於複數的雜訊，這樣的濾波器的效果是最好的。

3.自適應中值濾波器的Matlab代碼     由於本次代碼都比較簡單，主要是概念上的理解，所以，代碼我也就貼個自適應濾波器的代碼就完事吧！

     下一篇博文，會說到去卷積處理。

參考文獻

[文獻1]非線形ディジタル訊號処理  ,棟安実治 ?田口亮 著,システム制禦情報學會,朝倉書店,1999年03月20日
[文獻2]Tyan, S. G. "Median filtering: Deterministic properties." Two-Dimensional Digital Signal Prcessing II. Springer Berlin Heidelberg, 1981. 197-217.
[文獻3]Gallagher Jr N C, Wise G L. A theoretical analysis of the properties of median filters[J]. Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on, 1981, 29(6): 1136-1141.

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2014 - 7 - 17       修正了一些格式錯誤