動態規劃之數字三角形（三種解法：遞迴，遞推，記憶化搜尋）

Description

 

，有一個群島，共分為若干層，第1層有一個島嶼，第2層有2個島嶼，......，第n層有n個島嶼。每個島上都有一塊寶，其價值是一個正整數（圖中圓圈中的整數）。尋寶者只允許從第一層的島嶼進入，從第n層的島嶼退出，不能後退，他能收集他所經過的所有島嶼上的寶貝。但是，從第i層的島嶼進入第i+1層的島嶼時，有且僅有有2條路徑。你的任務是：對於給定的群島和島上寶貝的價值，計算一個拾寶者行走一趟所能收集寶貝的最大價值。

 

Input

第一行是一個整數n，在[2,20]之間，表示要輸入的案例的數量。後面緊跟n個案例。對每個案例，第一行是一個整數mi，在[2, 50]之間，表示該案例中島嶼的層數，後面緊跟mi*(mi+1)/2行，每行有1個整數，表示響應的島嶼上寶貝的價值，每個數值的範圍是[1, 1000]。注意：如果mi是4，而後面緊跟的10行的元素分別是5, 2, 1, 4, 7, 9, 4, 2, 3, 5，則表示第一層的資料是5；第2層的資料是2, 1；第3層的資料是4, 7, 9；第4層的資料是4, 2, 3, 5。

Output

對每一個案例，用一行輸出一個整數，表示輸出拾寶者所能收集寶貝的最大價值。

Sample Input

2
4
5
2
1
4
7
9
2
2
3
5
2
1
2
3

Sample Output

20
4

方法：動態規劃。把當前位置（i，j）看成一個狀態，設指標函數d（i，j）為從格子（i，j）出發時能得到的最大和，原問題的解為d（1,1）。容易得出狀態轉移方程d(i,j) = a(i,j) + max{d(i+1,j), d(i+1, j+1)}

方法一：遞迴計算（時間複雜度O(2^n),會逾時）

 1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm>    //for max（val1，val2） 3 #include <iostream> 4 using namespace std; 5 int n; 6 int a[51][51]; 7 int main() 8 { 9     int t;10     scanf("%d", &t);11     while (t--)12     {13         int i,j;14         scanf("%d",&n);15         for(i=1;i<=n;i++)16         　　for(j=1;j<=i;j++)17        　　　　 scanf("%d",&a[i][j]);18         int d(int, int);19         printf("%d\n", d(1, 1));20 }21     system("pause");22     return 0;23 }24 25 int d(int i, int j)26 {27     if (i == n)28        return a[i][j] + 0;29     else30        return a[i][j] + max(d(i+1, j), d(i+1, j+1));31 }

法2：遞推計算（時間複雜度O(n^2),需要輔助數組d）

 1 #include <iostream> 2 #include <algorithm>                //for max(val1, val2) 3 #include <cstdio> 4 using namespace std; 5 int n; 6 int a[51][51]; 7 int d[51][51]; 8 int main() 9 {10     int t;11     scanf("%d", &t);12     while (t--)13     {14         int i, j;15         scanf("%d", &n);16         for (i = 1; i <= n; ++i)17             for (j = 1; j <= i; ++j)18                 scanf("%d", &a[i][j]);19         for (i = 1; i <= n; ++i)20             d[n][i] = a[n][i];          //邊界處理21         for (i = n - 1; i >= 1; --i)  //逆序計算22             for (j = 1; j <= i; ++j)23                 d[i][j] = a[i][j] + max(d[i+1][j], d[i+1][j+1]);24         printf("%d\n", d[1][1]);25     }26     system("pause");27     return 0;28 }

法3：記憶化搜尋（遞迴函式，O(n^2))

 1 #include <iostream> 2 #include <algorithm>            //for max(val1, val2) 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring>              //for *memset(s, c, n)    5 using namespace std; 6 int n; 7 int a[51][51]; 8 int d[51][51]; 9 int main()10 {11     int t;12     scanf("%d", &t);13     while (t--)14     {15         memset(d, -1, sizeof(d));     //初始化數組d為-1 16         int i, j;17         scanf("%d", &n);18         for (i = 1; i <= n; ++i)19             for (j = 1; j <= i; ++j)20                 scanf("%d", &a[i][j]);21         int f(int, int);22         printf("%d\n", f(1, 1));23     }24     system("pause");25     return 0;26 }27 28 int f(int i, int j)29 {30     if (d[i][j] >= 0)     //由於每個數範圍為[1,1000]，d[i][j]初始化為-1，可以根據d[i][j] >= 0判斷是否已經被計算過31         return d[i][j];32     if (i == n)33         return a[i][j] + 0;34     else35         return d[i][j] = a[i][j] + max(f(i+1,j), f(i+1, j+1)); //儲存d[i][j]並返回36 }

本菜花了幾個小時整理的，在devc下編譯通過。