Dijkstra演算法 ——四人過橋

有一天晚上，有四個人需要通過架在山穀間的危橋，任意時刻最多隻能有兩個人在橋上，過橋需要一盞閃光燈，這些人只有一盞閃光燈。如果單獨過橋他們分別需要10、5、2、1分鐘，如果兩人同時過橋則所需時間是較慢者所需的時間。18分鐘後，沿山穀滾滾而下的山洪將把這座橋沖毀。這四個人能及時過橋嗎？不用圖論知識，證明你的結論；並說明如何用圖論知識獲得答案。

證明：只有一隻手電筒,並且過橋時必須要用到手電筒,唯一的辦法就是讓2個人一起過橋，然後讓其中的一個在返回來送手電筒,從橋上走一來回的結果是可以讓1個人通過.當2個人一起過橋時,總是最慢的1個人決定過橋的速度。把這幾個人按照花費時間的由多到少編號為D,C,B,A.。D的10分鐘肯定要花費，其他三人只能用7分鐘，為了讓時間最少，D和C肯定得一起過，並且回來的時候不能用C或D，所以

1. 一開始應該讓A和B先過  2分鐘；

2. 然後A回來，讓C和D過去  1+10分鐘；

3. B回來，A和B一起過去 2+2分鐘。

 總用時為：2+1+10+2+2=17分鐘，即這四個人在18分鐘內及時能過橋。

用圖論知識，可以以4個人在橋兩端的狀態來作為節點來構造一個有向圖，以已經過橋了的人的狀態作為圖的節點，初始時沒有人過橋，所以以空表示，第一輪有兩個人過橋，有6種可能的組合，(1，2)（1，5）（1，10）（2，5）（2，10）（5，10），從空的狀態轉換到這些狀態的需要的時間分別為2，5，10，5，10，10分鐘，時間就作為有向邊的權值。當有兩個人過橋後，需要一個人拿手電筒回去接其他人，這時有四種可能的情況，分別是1，2，5，10中的一人留在了河的對岸，（1，2）這種狀態只能轉換到（1）（2）兩種狀態，對應的邊的權值分別為2，1分鐘，（1，2）轉換到（1）時也就是2返回了，返回需要耗時2分鐘，以此類推可以建立圖論模型。

要求出最少需要多長時間4人全部通過小橋實際上就是在圖中求出（空）節點到（1，2，5，10）節點間的最短路徑。最後可用Dijkstra演算法求出最短路徑。

Dijkstra演算法是典型的最短路徑演算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充，直到擴充到終點為止。Dijkstra演算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍曆計算的節點很多，所以效率低。

Dijkstra演算法是很有代表性的最短路演算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如資料結構，圖論，運籌學等。

Dijkstra演算法思想為：設G=（V，E）是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以後每求得一條最短路徑，就將加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，演算法就結束了），第二組為其餘未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。

（1）初始時，S只包含源點，即S＝，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點，U中頂點u距離為邊上的權（若v與u有邊）或（若u不是v的出邊鄰接點）。

（2）從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

（3）以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u（u U）的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

（4）重複步驟（2）和（3），直到所有頂點都包含在S中。

 

Dijkstra演算法是由荷蘭電腦科學家艾茲格·迪科斯徹發現的。演算法解決的是有向圖中最短路徑問題。

舉例來說，如果圖中的頂點表示城市，而邊上的權重表示著城市間開車行經的距離。 Dijkstra演算法可以用來找到兩個城市之間的最短路徑。

Dijkstra演算法的輸入包含了一個有權重的有向圖G，以及G中的一個來源頂點S。 我們以V表示G中所有頂點的集合。圖中的每一個邊，都是兩個頂點所形成的有序元素對。(u,v)表示從頂點u到v有路徑相連。 假設E為所有邊的集合，而邊的權重則由權重函數w: E → [0, ∞]定義。 因此，w(u,v)就是從頂點u到頂點v的非負花費值(cost)。
邊的花費可以想像成兩個頂點之間的距離。任兩點間路徑的花費值，就是該路徑上所有邊的花費值總和。 已知有V中有頂點s及t，Dijkstra演算法可以找到s到t的最低花費路徑(i.e. 最短路徑)。 這個演算法也可以在一個圖中，找到從一個頂點s到任何其他頂點的最短路徑。

演算法描述

  這個演算法是通過為每個頂點v保留目前為止所找到的從s到v的最短路徑來工作的。初始時，源點s的路徑長度值被賦為0（d[s]=0）， 同時把所有其他頂點的路徑長度設為無窮大，即表示我們不知道任何通向這些頂點的路徑（對於V中所有頂點v除s外d[v]= ∞）。當演算法結束時，d[v]中儲存的便是從s到v的最短路徑，或者是無窮大（如果路徑不存在的話）。

   Dijstra演算法的基礎操作是邊的拓展：如果存在一條從u到v的邊，那麼從s到v的最短路徑可以通過將邊(u,v)添加到s到u的尾部來拓展。這條路徑的長度是d[u]+w(u,v)。如果這個值比目前已知的d[v]的值要小，我們可以用新值來替代當前d[v]中的值。拓展邊的操作一直執行到所有的d[v]都代表從s到v最短路徑的花費。這個演算法經過適當的組織因而當d[u]達到它最終的值的時候，每條邊(u,v)都只被拓展一次。

演算法維護兩個頂點集S和Q。集合S保留了我們已知的所有d[v]的值已經是最短路徑的值頂點，而集合Q則保留其他所有頂點。集合S初始狀態為空白，而 後每一步都有一個頂點從Q移動到S。這個被選擇的頂點是Q中擁有最小的d[u]值的頂點。當一個頂點u從Q中轉移到了S中，演算法對每條外接邊(u,v)進 行拓展。

演算法思想

設S為最短距離已確定的頂點集（看作紅點集），V-S是最短距離尚未確定的頂點集（看作藍點集）。
①初始化
    　初始化時，只有源點s的最短距離是已知的(SD(s)=0)，故紅點集S={s}，藍點集為空白。
②重複以下工作，按路徑長度遞增次序產生各頂點最短路徑
    　在當前藍點集中選擇一個最短距離最小的藍點來擴充紅點集，以保證按路徑權重遞增的次序來產生各頂點的最短路徑。
    　當藍點集中僅剩下最短距離為∞的藍點，或者所有藍點已擴充到紅點集時，s到所有頂點的最短路徑就求出來了。
  注意：
    　①若從源點到藍點的路徑不存在，則可假設該藍點的最短路徑是一條長度為無窮大的虛擬路徑。
    　②從源點s到終點v的最短路徑簡稱為v的最短路徑；s到v的最短路徑長度簡稱為v的最短距離，並記為SD(v)。
（3）在藍點集中選擇一個最短距離最小的藍點k來擴充紅點集
    　根據按長度遞增序產生最短路徑的思想，當前最短距離最小的藍點k的最短路徑是：
    　源點，紅點1，紅點2，…，紅點n，藍點k
 距離為：源點到紅點n最短距離+<紅點n,藍點k>邊長
    　為求解方便，設定一個向量D[0．．n-1]，對於每個藍點v∈ V-S，用D[v]記錄從源點s到達v且除v外中間不經過任何藍點(若有中間點，則必為紅點)的"最短"路徑長度（簡稱估計距離）。
    　若k是藍點集中估計距離最小的頂點，則k的估計距離就是最短距離，即若D[k]=min{D[i] i∈V-S}，則D[k]=SD(k)。
    　初始時，每個藍點v的D[c]值應為權w<s，v>，且從s到v的路徑上沒有中間點，因為該路徑僅含一條邊<s，v>。
  注意：
    　在藍點集中選擇一個最短距離最小的藍點k來擴充紅點集是Dijkstra演算法的關鍵 

（4）k擴充紅點集s後，藍點集估計距離的修改
    　將k擴充到紅點後，剩餘藍點集的估計距離可能由於增加了新紅點k而減小，此時必須調整相應藍點的估計距離。
    對於任意的藍點j，若k由藍變紅後使D[j]變小，則必定是由於存在一條從s到j且包含新紅點k的更短路徑：P=<s，…，k，j>。且D [j]減小的新路徑P只可能是由於路徑<s，…，k>和邊<k，j>組成。
    　所以，當length(P)=D[k]+w<k，j>小於D[j]時，應該用P的長度來修改D[j]的值。

（5）Dijkstra演算法

 Dijkstra(G，D，s){    //用Dijkstra演算法求有向網G的源點s到各頂點的最短路徑長度    //以下是初始化操作      S={s}；D[s]=0； //設定初始的紅點集及最短距離      for( all i∈ V-S )do //對藍點集中每個頂點i          D[i]=G[s][i]； //設定i初始的估計距離為w<s，i>       //以下是擴充紅點集      for(i=0;i<n-1;i++)do{//最多擴充n-1個藍點到紅點集           D[k]=min{D[i]：all i V-S}； //在當前藍點集中選估計距離最小的頂點k           if(D[k]等於∞)                return； //藍點集中所有藍點的估計距離均為∞時，                     //表示這些頂點的最短路徑不存在。           S=S∪{k}； //將藍點k塗紅後擴充到紅點集           for( all j∈V-S )do //調整剩餘藍點的估計距離               if(D[j]>D[k]+G[k][j])                //新紅點k使原D[j]值變小時，用新路徑的長度修改D[j]，              //使j離s更近。                   D[j]=D[k]+G[k][j]；          }   }