離散傅裡葉變換及其快速演算法

 

離散傅裡葉變換及其快速演算法2007-08-20 20:14

1 離散傅裡葉變換(DFT)的推導 時域抽樣：   目的：解決訊號的離散化問題。 效果：連續訊號離散化使得訊號的頻譜被周期延拓。 時域截斷： 原因：工程上無法處理時間無限訊號。 方法：通過窗函數(一般用矩形窗)對訊號進行逐段截取。 結果：時域乘以矩形脈衝訊號，頻域相當於和抽樣函數卷積。 時域周期延拓： 目的：要使頻率離散，就要使時域變成周期訊號。 方法：周期延拓中的搬移通過與 的卷積來實現。 表示：延拓後的波形在數學上可表示為原始波形與衝激串序列的卷積。 結果：周期延拓後的周期函數具有離散譜。 經抽樣、截斷和延拓後，訊號時域和頻域都是離散、周期的。過程見圖1。     處理後訊號的連續時間傅裡葉變換： 是離散函數，僅在離散頻率點 處存在衝激，強度為 ，其餘各點為0。 是周期函數，周期為 ，每個周期內有 個不同的幅值。 時域的離散時間間隔(或周期)與頻域的周期(或離散間隔)互為倒數。 2 DFT及IDFT的定義 DFT定義：設 是連續函數 的 個抽樣值 ，這N個點的寬度為N的DFT為： IDFT定義：設 是連續頻率函數 的 個抽樣值 ， 這N個點的寬度為N的IDFT為： 稱為N點DFT的變換核函數， 稱為N點IDFT的變換核函數。它們互為共軛。 同樣的訊號，寬度不同的DFT會有不同的結果。DFT正逆變換的對應關係是唯一的，或者說它們是互逆的。 引入 用途： 正逆變換的核函數分別可以表示為 和 。   核函數的正交性可以表示為： DFT可以表示為： IDFT可以表示為： 性質：周期性和對稱性：       3 離散譜的性質 離散譜定義：稱 為離散序列 的DFT離散譜，簡稱離散譜。 性質： 周期性：序列的N點的DFT離散譜是周期為N的序列。 共扼對稱性：如果 為實序列，則其N點的DFT關於原點和N/2都具有共軛對稱性。即 ； ； 幅度對稱性：如果 為實序列，則其N點的DFT關於原點和N/2都具有幅度對稱性。即 ； ； 改寫： 簡記 為 簡記 為 DFT對簡記為： 或 4 DFT總結 DFT的定義是針對任意的離散序列 中的有限個離散抽樣 的，它並不要求該序列具有周期性。 由DFT求出的離散譜 是離散的周期函數，周期為 、離散間隔為 。離散譜關於變元k的周期為N。 如果稱離散譜經過IDFT所得到的序列為重建訊號， ，則重建訊號是離散的周期函數，周期為 (對應離散譜的離散間隔的倒數)、離散間隔為 (對應離散譜周期的倒數)。 經IDFT重建訊號的基頻就是頻域的離散間隔，或時域周期的倒數，為 。 實序列的離散譜關於原點和 (如果N是偶數)是共軛對稱和幅度對稱的。因此，真正有用的頻譜資訊可以從0~ 範圍獲得，從低頻到高頻。 在時域和頻域 範圍內的N點分別是各自的主值區間或主值周期。   5 DFT性質 線性性：對任意常數 ( )，有 奇偶虛實性： DFT的反褶、平移：先把有限長序列周期延拓，再作相應反褶或平移，最後取主值區間的序列作為最終結果。 DFT有如下的奇偶虛實特性： 奇 奇；偶 偶；實偶 實偶；實奇 虛奇； 實 (實偶) + j(實奇)；實 (實偶)·EXP(實奇)。 反褶和共軛性： 時域 頻域 反褶 反褶 共軛 共軛＋反褶 共軛＋反褶 共軛 對偶性： 把離散譜序列當成時域序列進行DFT，結果是原時域序列反褶的N倍； 如果原序列具有偶對稱性，則DFT結果是原時域序列的N倍。 時移性： 。序列的時移不影響DFT離散譜的幅度。 頻移性： 時域離散圓卷積定理： 圓卷積：周期均為N的序列 與 之間的圓卷積為 仍是n的序列，周期為N。 非周期序列之間只可能存線上卷積，不存在圓卷積；周期序列之間存在圓卷積，但不存線上卷積。 頻域離散圓卷積定理： 時域離散圓相關定理： 周期為N的序列 和 的圓相關： 是n的序列，周期為N。 。其中 表示按k進行DFT運算。 帕斯瓦爾定理： 6 快速傅裡葉變換FFT (1) FFT不是一種新的變換，而是DFT的快速演算法。 (2) 直接DFT計算的複雜度： 計算DFT需要： 次複數乘法； 次複數加法。 (3) FFT演算法推導： (i) 第L次迭代中對偶結點值的計算公式為： ， 是迴圈控制變數。 整序：經過r次迭代後，得到結果 ，實際結果應是 ，所以流程的最後一步是按下標的正常二進位順序對結果進行整序。 (4) FFT演算法特點：( ) (i) 共需 次迭代； (ii) 第 次迭代對偶結點的偶距為 ，因此一組結點覆蓋的序號個數是 。 (iii) 第 次迭代結點的組數為 。 (iv) 可以預先計算好，而且 的變化範圍是 。 (5) FFT演算法流程：( ) (i) 初始化： ； (ii) 第 次迭代： (a) 下標控制變數初始化 ； (b) “結點對”的個數初始化 ; (c) Ø 按對偶結點對的計算公式進行置位元運算，得到 和 的值； Ø ； ； Ø 跳過已經計算過的結點(即上面 所對應的那些結點)： ； Ø 如果 ，轉到b)繼續計算下一組結點；否則結束本次迭代。 (iii) 當 次迭代全部完成後，對結果 按下標二進位位進行整序，從而得到結果