分治與遞迴

分治法的基本思想：將一個規模為n的問題分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題相同。遞迴地解這些問題，然後將各個子問題的解合并成原問題的解。它的一般的演算法設計模式如下：

divide-and-conquer(P)

  {

    if ( | P | <= n0) adhoc(P);   //解決小規模的問題

    divide P into smaller subinstancesP1,P2,...,Pk；//分解問題

    for (i=1,i<=k,i++)

      yi=divide-and-conquer(Pi);  //遞迴的解各子問題

    return merge(y1,...,yk);  //將各子問題的解合并為原問題的解

  }

人們從大量實踐中發現，在用分治法設計演算法時，最好使子問題的規模大致相同。即將一個問題分成大小相等的k個子問題的處理方法是行之有效。這種使子問題規模大致相等的做法是出自一種平衡(balancing)子問題的思想，它幾乎總是比子問題規模不等的做法要好。

分治法的適用條件：

分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵：

 

1. 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決；因為問題的計算複雜性一般是隨著問題規模的增加而增加，因此大部分問題滿足這個特徵。
2. 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質這條特徵是應用分治法的前提，它也是大多數問題可以滿足的，此特徵反映了遞迴思想的應用
3. 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；能否利用分治法完全取決於問題是否具有這條特徵，如果具備了前兩條特徵，而不具備第三條特徵，則可以考慮貪心演算法或動態規劃。
4. 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公用的子問題。這條特徵涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的，則分治法要做許多不必要的工作，重複地解公用的子問題，此時雖然也可用分治法，但一般用動態規劃較好。

 

分治法的複雜性分析：

一個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：

遞迴的概念：

直接或間接地調用自身的演算法稱為遞迴演算法。用函數自身給出定義的函數稱為遞迴函式。

由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞迴技術提供了方便。在這種情況下，反覆應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞迴過程的產生。

分治與遞迴像一對孿生兄弟，經常同時應用在演算法設計之中，並由此產生許多高效演算法。

優點：結構清晰，可讀性強，而且容易用數學歸納法來證明演算法的正確性，因此它為設計演算法、偵錯工具帶來很大方便。

缺點：遞迴演算法的運行效率較低，無論是耗費的計算時間還是佔用的儲存空間都比非遞迴演算法要多。

解決方案：在遞迴演算法中消除遞迴調用，使其轉化為非遞迴演算法。

 

1. 採用一個使用者定義的棧來類比系統的遞迴調用工作棧。該方法通用性強，但本質上還是遞迴，只不過人工做了本來由編譯器做的事情，最佳化效果不明顯。
2. 用遞推來實現遞迴函式。
3. 通過變換能將一些遞迴轉化為尾遞迴，從而迭代求出結果。

 

後兩種方法在時空複雜度上均有較大改善，但其適用範圍有限。