不要被階乘嚇倒

題目描述

給定一個整數N，那麼N的階乘N！末尾有多少個0呢？（該題取自《編程之美》）

分析求解如果N！= K*10^M，且K不能被10整除，則N！末尾有M個0。考慮N！可以進行質因數分解，N！= (2^X) * (3^Y) * (5^Z)..., 則由於10 = 2*5，所以0的個數只與X和Z相關，每一對2和5相乘得到一個10，所以0的個數M=min（X， Z），顯然2出現的數目比5要多，所以0的個數就是5出現的個數。由此可以寫出如下代碼：

int numOfzero(int N){    int cnt = 0;    for (int i=1; i<=N; i++) {        int j = i;        while (j % 5 == 0) {            cnt++;            j /= 5;        }    }    return cnt;}

繼續分析可以改進上面的代碼，為求出1到N的因式分解中有多少個5，令Z=N/5 + N/(5^2) + N/(5^3)+...即N/5表示1到N的數中5的倍數貢獻一個5，N/（5^2)表示5^2的倍數再貢獻一個5...舉個簡單的例子，比如求1到100的數因式分解中有多少個5，可以知道5的倍數有20個，25的倍數有4個，所以一共有24個5。代碼如下：

int numOfzero2(int N){    int cnt = 0;    while (N) {        cnt += N/5;        N /= 5;    }    return cnt;}

上面的分析乏善可陳，這裡需要提到的一點就是其中涉及到的一條算術基本定理，也就是任意大於1的自然數都可以分解為質數的乘積，而且該分解方式是唯一的。定理證明分為兩個部分，存在性和唯一性。證明如下：

存在性

使用反證法來證明，假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。自然數可以根據其可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定義，n
大於1。其次，n 不是質數，因為質數p可以寫成質數乘積：p=p，這與假設不相符合。因此n只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於1的自然數的積。設 n = a*b，a和b都是大於1小於n的數，由假設可知，a和b都可以分解為質數的乘積，因此n也可以分解為質數的乘積，所以這與假設矛盾。由此證明所有大於1的自然數都能分解為質數的乘積。

唯一性

當n=1的時候，確實只有一種分解。假設對於自然數n>1，存在兩種因式分解:n=p1...pm
= q1...qk，p1<=...<=pm， q1<=...<=qk。其中p和q都是質數。我們要證明p1=q1...如果不相等，我們可以設p1<q1,從而p1小於所有的q，由於p1和q1是質數，所以它們的最大公約數為1，由歐幾裡德演算法可知存在整數a和b使得a*p1 + b*q1 = 1。因此

a*p1*q2...qk + b*q1*q2...qk = q2...qk.  由於q1...qk = n，因此p1除盡右邊的q2...qk，即q2...qk / q1為整數，且q2...qk有一個質數因子分解，在此因式分解中p1出現，但是q2...qk < n，所以它有一個唯一的因式分解（由歸納法），此矛盾表明，p1最終一定等於q1，所以p1能夠除盡兩個n的因子分解p1...pm和q1...qk，從而p2...pm
= q2...qk < n，另一個因子也相等（由歸納法）。由此完成唯一性的證明。

參考資料

編程之美

具體數學