DP之背包問題+記憶遞迴

2個問題：

1）背包問題的動態規劃解法
2）動態規劃的另一種實現方式，記憶遞迴（dp的第一篇文章就提到過，professional中也提到過），在這裡來講解，加上全面所有的文章，這一點應該可以算是動態規

劃裡最後一個沒有詳細介紹的關鍵點了

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

給定一組物品：

重量為 w1 , w2 , .......wn

價值為 v1 , v2 , .........vn

和一個稱重量為W的書包。

求這些物品的一個最有價值的子集，可以裝到書包中去。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1，背包問題

設 V[ i , j ]表示能夠放進稱重量為 j 的背包的前 i 個物品的最有價值子集的價值，目標是求V[ n , W ]

根據 V[ i , j ] 的最佳子集中是否包含物品 i，可以得到下列遞推式：

這個遞推式的意思是：如果 i 的重量已經比 j 大了，那顯然不含 i （  j-wi < 0 ）, 如果 i 的重量比 j 小，那麼可能包含 i （如果包含能去到最大值的話）。

這個表可以按行也可以按列填：

實現：

package Section8;

/*第八章 動態規劃   背包問題*/

public class BackPack {

/**
     * @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
        int[] w = { 2, 1, 3, 2 }; // 重量數組
        int[] v = { 12, 10, 20, 15 }; // 價值數組
        int W = 5;

int[][] result = backPack(w, v, W);

for (int i = 0; i < result.length; i++)
        {
for (int j = 0; j < result[0].length; j++)
                System.out.print(result[i][j] + "     ");
            System.out.println();
        }
    }

public static int[][] backPack(int[] w, int[] v, int W) {
// w是物品重量數組，v事物品價值數組，W是背包重量
// 返回表達背包問題求解過程的矩陣
        int n = w.length; // w和v的長度是相同的
        int[][] result = new int[n + 1][W + 1]; // 前i個物品（i從0到n），W從0到W

// 初始條件：result[0][j] = 0;result[i][0] = 0;
        for (int i = 0; i <= W; i++)
            result[0][i] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++)
            result[i][0] = 0;

// 根據動態規劃的狀態轉移方程填表:這個表格可以一行一行的填，也可以一列一列的填，這裡採用一行一行的填
// 注意填表方式是動態規劃裡面非常重要的一個東西，當你填某一個位置時，它需要用到的其他位置必須都已經填好
// 所以填表的方式是跟狀態轉移方程相關滴，深層次來說，是跟動態規劃構造解的產生過程相關的

for (int i = 1; i <= n; i++) // 行數從1到n
        {
for (int j = 1; j <= W; j++) // 列數從1到W
            {
// 此時決定了一個i，j的位置要填：result[i][j]
                if (j - w[i - 1] < 0)
                    result[i][j] = result[i - 1][j];
else
                    result[i][j] = max(result[i - 1][j], v[i - 1] + result[i - 1][j - w[i - 1]]);
            }
        }

return result;
    }

public static int max(int m, int n) {
if (m >= n)
return m;
return n;
    }

}

結果：

0     0     0     0     0     0    
0     0     12     12     12     12    
0     10     12     22     22     22    
0     10     12     22     30     32    
0     10     15     25     30     37    

寫了這麼幾個動態規劃，已經可以發現，有了遞推式後，其編程就顯得非常easy，基本上就是照著公式操作矩陣。

因此，應重點關注動態規劃的思想，怎麼去描述和刻畫問題，發現最有子結構，得到其狀態轉移方程。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2，記憶遞迴--動態規劃的另一種實現方式

關於什麼什麼是記憶遞迴，它的出發點是什麼，為什麼要記憶遞迴，這些在前面都提過，這裡再簡單說下：

動態規劃的核心思想之一就是記憶（或者記錄）來避免對重複子問題進行求解，然而，它並沒有避免對不必要子問題進行求解。

若將遞迴與動態規劃結合起來，就可以得到一種動態規劃的遞迴實現方式，這種方式避免了對不必要子問題進行求解。

實際上就是在遞迴的時候，在動態規劃表中先檢查要遞迴的項是否已經求出來了，如果已經求出來了，就直接返回答案，否則才去遞迴求解。

背包問題的記憶遞迴實現：

實際上，就是在V[ i , j]還沒有求出來的時候（一旦一個V[ i , j]求出來了，就不會再變，這點很重要），才去遞迴，否則就直接傳回值。

想想斐波拉契數列也可以記憶遞迴的去實現。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

總結：

1） 背包問題的時間複雜度和空間複雜度都是 nW，2個迴圈，見代碼

2）一個關鍵點：動態規劃的另一種實現方式，記憶遞迴