【DP】【單調隊列】【NOI2005】瑰麗華爾茲

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340. [NOI2005] 瑰麗華爾茲

★★★   輸入檔案：adv1900.in   輸出檔案：adv1900.out   簡單對比時間限制：1 s   記憶體限制：128 MB

【任務描述】

你跳過華爾茲嗎？當音樂響起，當你隨著旋律滑動舞步，是不是有一種漫步仙境的愜意？眾所周知，跳華爾茲時，最重要的是有好的音樂。但是很少有幾個人知道，世界上最偉大的鋼琴家一生都漂泊在大海上，他的名字叫丹尼?布德曼?T.D.?檸檬?1900，朋友們都叫他1900。
1900出生於20世紀的第一年出生在往返於歐美的郵輪維吉尼亞號上，然後就被拋棄了。1900剛出生就成了孤兒，孤獨的成長在維吉尼亞號上，從未離開過這個搖晃的世界；也許是對他命運的補償，上帝派可愛的小天使艾米麗照顧他。
可能是天使的點化，1900擁有不可思議的鋼琴天賦，從未有人教，從沒看過樂譜，但他卻能憑著自己的感覺彈出最沁人心脾的旋律。當1900的音樂獲得郵輪上所有人的歡迎時，他才8歲，而此時他已經乘著海輪往返歐美50多次了。
雖說是鋼琴奇才，但1900還是個8歲的孩子，他有著和一般男孩一樣的好奇的調皮，不過可能更有一層浪漫的色彩罷了：
這是一個風雨交加的夜晚，海風捲起層層巨浪拍打著維吉尼亞號，郵輪隨著巨浪劇烈的搖擺。船上的新薩克斯手邁克斯?托尼暈船了，1900將他 邀請到舞廳，然後——，然後鬆開了固定鋼琴的閘，於是，鋼琴隨著海輪的傾斜滑動起來。準確的說，我們的主角1900、鋼琴、郵輪隨著1900的旋律一起跳 起了華爾茲，所有的事物好像都化為一體，隨著“強弱弱”的節奏，托尼的暈船症也奇蹟般地一點一點恢複。正如托尼在回憶錄上這樣寫道：
大海搖晃著我們
使我們轉來轉去
快速的掠過燈和傢具
我意識到我們正在和大海一起跳舞
真是完美而瘋狂的舞者
晚上在金色的地板上快樂的跳著華爾茲是不是很愜意呢？也許，我們忘記了一個人，那就是艾米麗，她可沒閑著：她必須在適當的時候施魔法協助1900，不讓鋼琴碰上舞廳裡的傢具。而艾米麗還小，她無法施展魔法改變鋼琴的運動方向或速度，而只能讓鋼琴停一下。
不妨認為舞廳是一個N行M列的矩陣，矩陣中的某些方格上堆放了一些傢具，其他的則是空地。鋼琴可以在空地上滑動，但不能撞上傢具或滑出舞廳，否則會損壞鋼琴和傢具，引來難纏的船長。
每個時刻，鋼琴都會隨著船體傾斜的方向向相鄰的方格滑動一格，其中相鄰的方格可以是向東、向西、向南或向北的。而艾米麗可以選擇施魔法或不施魔法，如果不施魔法，則鋼琴會滑動，而如果施魔法，則鋼琴會原地不動。 艾米麗是個天使，她知道每段時間的船體的傾斜情況。她想使鋼琴盡量長時間在舞廳裡滑行，這樣1900會非常高興，同時也有利於治療托尼的暈船。但艾米麗還太小，不會算，所以希望你能協助她。

【輸入格式】

輸入檔案的第一行包含5個數N, M, x, y和K。N和M描述舞廳的大小，x和y為在第1時刻初鋼琴的位置（x行y列）；我們對船體傾斜情況是按時間的區間來描述的，比如“在[1, 3]時間裡向東傾斜，[4, 5]時間裡向北傾斜”，因此這裡的K表示區間的數目。
以下N行，每行M個字元，描述舞廳裡的傢具。第i行第j列的字元若為‘ . ‘，則表示該位置是空地；若為‘ x ‘，則表示有傢具。
以下K行，順序描述K個時間區間，格式為：si ti di(1 ≤ i ≤ K)。表示在時間區間[si, ti]內，船體都是向di方向傾斜的。di為1, 2, 3, 4中的一個，依次表示北、南、西、東（分別對應矩陣中的上、下、左、右）。輸入保證區間是連續的，即

s1 = 1ti = si-1 + 1 (1 < i ≤ K)tK = T

【輸出格式】

輸出檔案僅有1行，包含一個整數，表示鋼琴滑行的最長距離(即格子數)。

【輸入範例】

4 5 4 1 3..xx.........x......1 3 44 5 16 7 3

【輸出範例】

6

【範例說明】

鋼琴的滑行路線：

鋼琴在“×位置上時天使使用一次魔法，因此滑動總長度為6。

【評分方法】

本題沒有部分分，你的程式的輸出只有和我們的答案完全一致才能獲得滿分，否則不得分。

【資料範圍】

50%的資料中，1≤N, M≤200，T≤200；
100%的資料中，1≤N, M≤200，K≤200，T≤40000。

題解：
第一次見題目描述如此長且沒太多用處的題目。。
首先考慮對於時間t來dp：
f[t][i][j]表示在第t時刻在第i行第j列所能獲得的最長距離。
轉移方程顯然：
f[t][i][j]=max(f[t-1][i][j],f[t][i*][j*]+1)(i*,j*為上一個合理的位置)
這樣時間複雜度為O(TNM)，可以過50%,但對於100%逾時。
所以考慮一下另一種dp方式：
f[k][i][j]表示在第k段滑行區間中在第i行第j列獲得最長距離。
考慮轉移：
對於d==1（即向上走），可以發現每一列的資訊是可以轉移的，同時，每一列的資訊也是可以通過單調隊列維護的資訊十分快速的求出，可以腦補，複雜度為O(KNM)。

Code:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#define N 210#define inf -2139062144using namespace std;int n,m,X,Y,K,T,h,t,ans=0;int q[100*N],Q[100*N],f[N][N][N],dx[6]={0,-1,1,0,0},dy[6]={0,0,0,-1,1};bool a[N][N];int in(){    int x=0; char ch=getchar();    while (ch<‘0‘ || ch>‘9‘) ch=getchar();    while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();    return x;}void push(int k,int now,int x,int y){    if (k==inf) return;    while (h<=t && (k-now)>Q[t]) t--;    Q[++t]=k-now; q[t]=now;}void dp(int xu,int x,int y,int d){    int now=1; h=1,t=0;    while (1){        if (x<1 || x>n || y<1 || y>m) break;        if (!a[x][y]) h=1,t=0;        else push(f[xu-1][x][y],now,x,y);        while (h<=t && (now-q[h])>T) h++;        if (h<=t) f[xu][x][y]=Q[h]+now;        else f[xu][x][y]=inf;        ans=max(ans,f[xu][x][y]);        x+=dx[d],y+=dy[d]; now++;    }}void work(int xu,int s,int t,int d){    T=t-s+1;    if (T<1) return;    if (d==1)        for (int i=1; i<=m; i++)            dp(xu,n,i,d);    else if (d==2)        for (int i=1; i<=m; i++)            dp(xu,1,i,d);    else if (d==3)        for (int i=1; i<=n; i++)            dp(xu,i,m,d);    else        for (int i=1; i<=n; i++)            dp(xu,i,1,d);}int main(){    n=in(),m=in(),X=in(),Y=in(),K=in();    memset(f,128,sizeof(f));    f[0][X][Y]=0;    for (int i=1; i<=n; i++)        for (int j=1; j<=m; j++){            char ch=getchar();            while (ch!=‘.‘ && ch!=‘x‘) ch=getchar();            if (ch==‘.‘) a[i][j]=1;            else a[i][j]=0;        }    for (int i=1; i<=K; i++){        int s=in(),t=in(),d=in();        work(i,s,t,d);    }    printf("%d\n",ans);    return 0;}

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