動態規劃第4講——計數問題中的DP演算法

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DP不僅廣泛用於各種最佳化問題，也常常用於排列組合的個數、機率期望計算等等，因為這些問題往往具有很好的“ 重疊子問題”特性，這些問題往往都起源於排列組合中的組合公式A(n, k) = A(n-1, k) + A(n-1, k-1)

例一：求解劃分數

有n個無差別的物品，將他們劃分成不超過m組，求劃分方法數除以M的餘數。

分析：dp[i][j]j的i劃分的總數
dp[i][j] = dp[i][j-i] + dp[i-1][j] 物理意義：將j個物品分成i份，有兩種情況：每份劃分都大於等於1 dp[i][j-i]; 存在有一份以上用0劃分dp[i-1][j]


例二：有n種物品，第i種有a[i]個，從中選取m個，有多少種不同的選擇方法？dp[i+1][j]:從[0, i]號物品中選取j個物品的方法。
dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1]
這是我們很直觀想到的一個遞推關係：dp[i][j]：從i號物品中選0個， dp[i+1][j-1]從i號物品中至少選擇1個
實際上，由於是多重集而不是完全集合，因為我們已經選取了一個i號物品，所以dp[i+1][j-1]表示的不是從i號物品中選擇至少一個的數目，因為dp[i+1][j-1]包含了選取a[i]個i號物品，而實際上，這種情況是因該去掉的（因為i號物品的數量已經是a[i]-1了）。so, 結果的基礎上，需要減去dp[i][j-a[i]-1],也就是
dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1] - dp[i][j-1-a[i]];

動態規劃第4講——計數問題中的DP演算法