動態規劃專題（二）——樹形DP

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前言

\(DP\)這東西真的是博大精深啊......

簡介

樹形\(DP\)，顧名思義，就是在樹上操作的\(DP\)，一般可以用\(f_i\)表示以編號為\(i\)的節點為根的子樹中的最優解。

轉移的時候一般都將資訊由子節點轉移到父親節點，也就是將資訊從下往上轉移。

因此，一般樹形\(DP\)都會採用 遞迴 的形式。

典例1：樹上背包

樹形\(DP\)中有一種比較經典的題型：樹上背包。

其實它的思想與普通背包差不多，關鍵在於它玄學的時間複雜度。

很多看似\(O(n^3)\)會\(T\)飛（實際上也的確是這樣）的題目，可能你用\(O(n^3)\)的樹上背包卻能跑過（時間複雜度我也不會證），而且不是因為資料水。

可參考一道例題：【洛穀1273】有線電視網。

典例2：帶權樹的直徑

普通的樹的直徑可以用\(BFS\)來求，但如果是帶權的，\(BFS\)就會被卡炸（可惜我之前不知道）。

於是就用上了樹形\(DP\)。

可參考一道例題：【雜題】訪問計劃。

幾道例題

好吧，\(DP\)好像也沒什麼東西可講，這樣介紹得還是不夠具體。乾脆直接看例題來理解一下吧。

第一道例題： 【51nod1299】監獄逃離

這題是一道挺有意思的樹形\(DP\)題，我們可以考慮用\(f\)數組來記錄每一個節點的狀態：完全封死、可以從這個節點到達葉子節點、有犯人可以到達該節點，然後就不難統計出答案了。

第二道例題： 【BZOJ4033】[HAOI2015] 樹上染色

比較經典的樹形\(DP\)題。這道題最值得注意的地方不是\(DP\)過程，而是注意在一棵有\(n\)個節點的樹上將\(m\)個節點染成黑色與將\(n-m\)個節點染成黑色其實是等價的，不加上這個最佳化就會\(TLE\)。

第三道例題： 【BZOJ1040】[ZJOI2008] 騎士

一道噁心的基環外向樹\(DP\)，應該是比較模板的吧。

動態規劃專題（二）——樹形DP