動態規劃-矩陣鏈乘

問題描述

給定n個矩陣構成的一個鏈給定｛A1,A2,…,An｝,其中i=1，2，...,n.矩陣Ai的維數為pi-1*pi，如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。 

最優子結構

對乘積A1A2...An的任意加括弧方法都會將序列在某個地方分成兩部分，也就是最後一次乘法計算的地方，我們將這個位置記為k，也就是說首先計算A1...Ak和Ak+1...An，然後再將這兩部分的結果相乘。最優子結構如下：假設A1A2...An的一個最優加括弧把乘積在Ak和Ak+1間分開，則首碼子鏈A1...Ak的加括弧方式必定為A1...Ak的一個最優加括弧，尾碼子鏈同理。一開始並不知道k的確切位置，需要遍曆所有位置以保證找到合適的k來分割乘積。

狀態轉移方程

代碼實現

#include<iostream>using namespace std;//p為矩陣鏈，p[0],p[1]代表第一個矩陣，p[1],p[2]代表第二個矩陣，length為p的長度//所以如果有六個矩陣，length=7，m為儲存最優結果的二維矩陣，t為儲存選擇最優結果路線的//二維矩陣void MatrixChainOrder(int *p,int (*m)[10],int (*t)[10],int length){int n=length-1;int i,j,k,q,num=0;//A[i][i]只有一個矩陣，所以相乘次數為0，即m[i][i]=0;for(i=1;i<length;i++){m[i][i]=0;}//i代表矩陣鏈的長度，i=2表示有兩個矩陣相乘時如何劃分for(i=2;i<=n;i++){//j表示從第j個矩陣開始的i個矩陣如何劃分是最優for(j=1;j<=n-i+1;j++){//k為從第j個數i個矩陣就是k，從j到k表示他們之間的i個矩陣如何劃分k=j+i-1;//m[j][k]儲存了從j到k使用最佳劃分所得到的最優結果m[j][k]=0x7fffffff;//q為介於j到k-1之間的數，目的是利用q對j到k之間的矩陣進行試探性的劃分，//從而找到最優劃分，這是一種遍曆性的試探。for(q=j;q<=k-1;q++){num=m[j][q]+m[q+1][k]+p[j-1]*p[q]*p[k];if(num<m[j][k]){m[j][k]=num;t[j][k]=q;}}}}}void PrintAnswer(int(*t)[10],int i,int j){if(i==j){cout<<"A"<<i;}else{cout<<"(";PrintAnswer(t,i,t[i][j]);PrintAnswer(t,t[i][j]+1,j);cout<<")";}}int main(){int p[7]={30,35,15,5,10,20,25};int m[10][10],t[10][10];MatrixChainOrder(p,m,t,7);MatrixChainOrder(p,m,t,7);PrintAnswer(t,1,6);cout<<endl;return 0;}

運行結果：

參考：演算法導論十五章--矩陣鏈乘法-http://blog.csdn.net/liuzhanchen1987/article/details/7835053