KMP演算法的動態規劃解說

理解我接下來所說的東西，需要大家懂得簡單的動態規劃。

KMP大家都不陌生了，但是其中計算next數組總是搞不明白，我想有很多人和我一樣。所以這裡用動態規劃的思路去描述一下這個問題。

模式串P=c[1]c[2]......c[n]

先設幾個符號：

suffix(S): S的所有尾碼的集合

prefix(S): S的所有首碼的集合

例如：suffix("abcd") = {"","d", "cd", "bcd"}

         prefix("abcd") = {"","a", "ab", "abc"}

看到，在這兩個集合都除去了"abcd"本身。

真對P定義next的意義：next[i]代表的意義是suffix(c[1]c[2]......c[i])與prefix(c[1]c[2]......c[i])兩個集合中最長相同串的長度（不包括串c[1]c[2]......c[i]）。那麼如何計算next呢？其實這個計算過程類似動態規劃的轉移過程，從初始狀態，不斷的根據轉移方程計算，直至計算出所有的可達狀態。

那麼狀態怎麼定義？初始條件是什嗎？

設兩個遊標p1,p2, p1,p2構成的位置對為狀態<p1,p2>，例如p1在i位置，p2在j位置，i<j，那麼狀態<i, j>就代表c[1]c[2]......c[i]=c[j-i+1]c[j-i+2]......c[j]，即串的前i個字元與後i個字元相同。之後我們根據<i,j>推出<i',j+1>。我們依次計算<i1, 1>，<i2,2>,......,<in,n>。設LMAX(<i, j>)=i，通過上面對next的定義，我們可知next[j]=MAX{LMAX(<i,j>)|0<=i<j}。

初始化的條件為 next[1] = LMAX(<0, 1>) = 0。假設我們當前所在的狀態為<i, j>,那麼如何推出<i',j+1>呢？這必須得看c[i+1]與c[j+1]的關係，如果c[i+1]=c[j+1]，那麼我們到達<i+1,j+1>的狀態；如果c[i+1]!=c[j+1]，那麼我們得根據所有可能的<i', j>狀態，判斷c[i'+1]=c[j+1]是否成立，如果成立就到達<i'+1,j+1>狀態。那麼，我們如何找到這些合法的<i',j>狀態呢？很慶幸，因為next數組中天然的儲存了我們需要的資訊。當我們到達<i,j>這個狀態並且發現c[i+1]!=c[j+1]，那麼下一個嘗試的狀態將是<next[i], j>，看看c[next[i]+1]=c[j+1]是否成立。而且我們發現，只要按照i,next[i],next[next[i]]......這樣下去找到第一個能夠符合轉移條件的狀態就OK了，如果沒有一個能夠使之轉移的狀態，就說明沒有一個首碼和當前的某個尾碼是相等的，那麼直接跳轉到<0, j+1>這個狀態。

舉個例子吧: S=abcababc為了方便理解，在S前加一個萬用字元$$abcababc          <0, 1>             next[1]=0||$abcababc          <0, 2>             next[2]=0| | $abcababc          <0, 3>             next[3]=0|  |$abcababc          <1, 4>             next[4]=1 |  | $abcababc          <2, 5>             next[5]=2  |  |下一步s[3]!=s[6]，這將嘗試狀態<next[3],j>=<0,j>，使之轉移到下面的狀態$abcababc          <1, 6>             next[6]=1 |    | $abcababc          <2, 7>             next[7]=2  |    |$abcababc          <3, 8>             next[8]=3   |    |

到此，有的同學又有疑問了，人家KMP定義的next[i]的意義和你的也不一樣呀。對，確實不一樣。

KMP中對next[i]的定義為：設文本串為T，模式串為P，p[i]!=T[j]時，應該用p[?]與T[j]進行比較。

對應於上例，得到的next數組值應為

KMP的next: -1 1 1 1 2 3 2 3
我們的next:  0 0 0 1 2 1 2 3

怎麼通過我們的next擷取到正確的next呢？非常簡單，從後往前迴圈做next[i] = next[i-1]+1，之後next[1]=-1就哦了。