動態規劃，遞迴與非遞迴，FP 之野望，描述與計算

1. 動態規劃

動態規劃這四個大字在演算法設計這一塊算是鼎鼎有名。它不是什麼高深的東西，就是演算法設計裡面最基礎的法門，少林長拳是也。基本上判斷一個人是不是真的學過演算法，考考動態規劃就知道了。有趣的是，這動態規劃偏偏就是和遞迴較勁的，而這個最簡單的例子就是著名的肥婆拉車 …… 呃，費伯納西（Fibonacci）數列了。

這個數列是這麼定義的（知道的同學請跳過這一段）：記 fib(n) 為費伯納西數列的第 n 個元素，則 fib(0) = 0, fib(1) = 1, 對於所有的 n > 1 ，有 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) 。巧得很，那位 ID 很長的 M 朋友（以後直接用 M 簡稱了，相信 007 不會介意），要計算的函數差不多也是這麼個形式，所以下面的討論，基本上可以一字不差的套用過去。

要計算這個函數，最直截了當的實現就是用遞迴了：

Java代碼

1. int fib(int n)   
2. {   
3.     // 不要和我扯什麼函數參數檢查之類，喜歡摳這些的請去隔壁的對日外包培訓班   
4.   
5.     if (n == 0)        return 0;   
6.     else if (n == 1)   return 1;   
7.     else               return fib(n-1) + fib(n-2);   
8. }  

這個實現基本上就是照抄數列的定義，任何智商正常的程式員都能寫出來、看得懂。但是如果說起運行效率，那完全可以用一坨有機肥料來形容。嗯嗯，當然了，搞演算法的人不可以信口開河，光說人家像有機肥料是不行的，你得嚴格證明這一點，那麼現在就讓我們來簡單分析一下：記 fib(n) 運行所需的時間為 T(n)，顯然 T(0) 和 T(1) 是常數，而對於所有的 n > 1， T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 某個常數。Javaeye 不支援 latex，數學公式展不開，我們就取個最粗略的分析。顯然，對於所有的 n > 1，T(n) 是單調增加的，滿足 T(n) > T(n-1) > T(n-2) ... （有興趣的同學可以數學歸納一把確證一下），因此 T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 某個常數 > 2*T(n-2) ，所以 T(n) = Ω(2^{n/2})。通俗點說，n 每增大 2，T(n) 至少要翻一倍，如果 n = 256 ，那麼這段程式多半是沒有希望在宇宙毀滅之前運行完了。

這見鬼的肥婆 …… 費伯納西數列真的那麼難算嗎？當然不是，上面那段程式的問題在於包含了太多的重複計算。讓我們看下面這張圖（此圖無恥地盜鏈自 SICP 的公開電子書）：

看圖，這是上面那個遞迴程式計算 fib(5) 的過程。一眼可以看出，這裡面冗餘無數，比如fib(5) 那棵計算 fib(3) 的右子樹和 fib(4) 的左子樹完全是相同的。這種冗餘計算耗費了幾乎全部的程式已耗用時間，從而使得這個程式的運行效率散發出有機肥料的氣味。只要消除這些冗餘，就能讓程式運行速度快起來。

那麼具體如何著手呢？看看那個遞迴式子，fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) ，從本質上來講，這個式子真正告訴我們的是這樣一件事：計算 fib(n) 這個任務，可以分解為計算 fib(n-1) 和計算 fib(n-2) 這兩個新任務，而計算 fib(n-1) 和 fib(n-2) 這兩個新任務，也可以繼續通過這個遞迴式子分解下去，直到我們遇到 fib(0) 和 fib(1) 。算一算，我們一共可能遇到幾個不同任務？fib(0) 到 fib(n) 一共 n + 1 個，而且我們有了 fib(0) 和 fib(1) ，就能算出 fib(2)，有了 fib(1) 和 fib(2) 就能算出 fib(3) …… 以此類推，我們可以照著這個順序把這區區 n + 1 個計算任務全都給完成了，從而也就得到了 fib(n)。程式如下：

Java代碼

1. int fib(int n)   
2. {   
3.     int[] fibs = new int[max(2, n+1)];  // 儲存 n + 1 個計算任務結果的數組   
4.                                         // PS：其實沒必要保留這麼多空間，這裡是為了說明起來更清楚   
5.     fibs[0] = 0;                        // 第 1 個計算任務   
6.     fibs[1] = 1;                        // 第 2 個計算任務   
7.     for (int i=2; i<=n; ++i)            // 第 2 到 n 個計算任務   
8.     {   
9.         fibs[i] = fibs[i-1] + fibs[i-2];    
10.     }   
11.     return fibs[n];   
12. }  

這個程式的時間複雜度是 O(n) ，也就是線性時間（看不出來的回去重修資料結構），傳個 n = 256 進去，瞬間你就能看到結果 —— 我們就這樣把一個本來需要計算到宇宙末日的問題給解決了。

這種演算法設計技巧，就是動態規劃。

我相信有些同學一定覺得上面這個例子實在太簡單了，你們天才的大腦需要更有挑戰性的工作才能滿足，所以下面給個稍微複雜點的問題作為思考題，有興趣的同學可以想一想。這是我面試某公司時遇到的面試題：話說有個魔法字典，其中記錄了一些魔力單詞（字串），如果一個句子（也是字串）可以被完全分解為若干魔力單詞的拼接，那麼這個句子就是一條咒語。假設我們可以用常數時間查詢魔力字典是否包含一個特定的單詞，那麼現在給你一個句子，讓你寫一個程式判斷這個句子是否一條咒語。用動態規劃可以解哦。