動態規劃思想：石子合并問題

標籤：問題   c   div   演算法   設計   動態規劃   

 

描述：
在一個圓形操場的四周擺放著n 堆石子。現要將石子有次序地合并成一堆。
規定每次只能選相鄰的2 堆石子合并成新的一堆，並將新的一堆石子數記為該次合并的得分。
試設計一個演算法，計算出將n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

貪心演算法不能得到最優解，可惜了。
首先我們可以把這麼堆石子看成一列

如果N－1次合并的全域最優解包含了每一次合并的子問題的最優解，那麼經這樣的N－1次合并後的得分總和必然是最優的。
因此我們需要通過動態規划算法來求出最優解。

 

在此我們假設有n堆石子，一字排開，合并相鄰兩堆的石子，每合并兩堆石子得到一個分數，最終合并後總分數最少的。

我們設m(i,j)定義為第i堆石子到第j堆石子合并後的最少總分數。a(i)為第i堆石子得石子數量。
當合并的石子堆為1堆時，很明顯m(i,i)的分數為0;
當合并的石子堆為2堆時，m(i,i+1)的分數為a(i)+a(i+1);
當合并的石子堆為3堆時，m(i,i+2)的分數為MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));
當合并的石子堆為4堆時......