動態規划算法-解決01背包問題__演算法

問題描述：

    現有N個物品，其每個物品對應的重量為Wi，對應的價值為Vi (0 =< i <= N)。則對於固定承重為K的背包來說，在這些物品中放入某些物品使得對應的總價值最大。用C[N][K]可以表示，在一個固定承重為K的背包中放入N個物品時的最大價值。

       C[N][K] = max{C[N-1][K]，C[N-1][K-X] + Vx}

       上述公式是一個遞推的過程，即在承重為K的背包中放入N個物品中的某些，使得總價值C[N][K]最大。而C[N][K]的大小取決於兩種情況中的最大值。C[N-1][K]表示遍曆前N-1個物品時對應的最大價值，第N個物品不放入。C[N-1][K-X] + Vx表示第N個物品放入後對應的總價值。X為第N個物品的重量，Vx為第N個物品的價值。只要用表格從一開始就儲存下對應的各項資料，則在後續過程中只需要查表遞推就可以得到想要的最大值。這種方法的本質就是一個遞推和用空間來節省時間的過程。

       將這個問題具體化一點：對於一個固定承重為10的背包，現在需要在4個物品中去挑選放入的物品來使得總的價值最大。這個4個物品分別為 A、價值3 重量 3 B、價值4 重量 6 C、價值5 重量 5 D、價值 7 重量 8。分別從物品編號的維度0-4和背包容量的維度0-10去產生對應的二維表格。儲存格中對應的資料即為最大價值C[i][j]。其中編號1到4分別對應A到D的物品（與順序無關），動態規劃就是在不停地填寫這張表。

表格如下：

由上表可以得出，當在4個物品中挑選物品放入固定承重為10的背包中時，可獲得的最大價值為C[4][10] = 8。

於是利用動態規劃的方法便獲得了該情況下對應的最大價值。