動態樹 Link-Cut Trees

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動態樹

動態樹問題, 即要求我們維護一個由若干棵子結點無序的有根樹組成的森林。

要求這個資料結構支援對樹的分割、合并，對某個點到它的根的路徑的某些操作，以及對某個點的子樹進行的某些操作。

在這裡我們考慮一個簡化的動態樹問題，它只包含對樹的形態的操作和對某個點到根的路徑的操作：

維護一個資料結構，支援以下操作:

• MAKE TREE() — 建立一棵只有一個結點的樹。

• CUT(v) — 刪除 v 與它的父親結點 parent(v) 的邊，相當於將點 v 的子樹分離了出來。

• JOIN(v,w) — 讓 v 成為 w 的新的兒子。其中 v 是一棵樹的根結點，並且 v 和 w 是不同的兩棵樹中的結點。

• FIND ROOT(v) — 返回 v 所在的樹的根結點。搞清了這個問題，我們也容易擴充這個資料結構，維護每個點到它所屬的樹的根結點的路徑的一些資訊，例如權和、邊權的最大值、路徑長度等。

 

Link-Cut Trees

Link-Cut Trees 是由 Sleator 和 Tarjan 發明的解決這類動態樹問題的一種資料結構。

這個資料結構可以在均攤 O(logn) 的時間內實現上述動態樹問題的每個操作。

如果沒有用對樹的形態的改變的話，我們可以用樹鏈剖分，把樹剖分成許多條鏈並維護上面的權值資訊。

然而對於樹的形態的改變，樹鏈的剖分方案也要改變，我們藉助 Splay 的思想來動態維護許多樹鏈（稱為 Link-Cut Trees）。

 

Link-Cut Trees 的定義

稱一個點被訪問過，如果剛剛執行了對這個點的 ACCESS 操作。如果結點 v 的子樹中，最後被訪問的結點在子樹 w 中，這裡 w 是 v 的兒子, 那麼就稱 w 是 v 的 Preferred Child。如果最後被訪問過的結點就是 v 本身，那麼它沒有 Preferred Child。每個點到它的 Preferred Child 的邊稱作 Preferred Edge。由 Preferred Edge 串連成的不可再延伸的路徑稱為 Preferred Path。這樣，整棵樹就被劃分成了若干條 Preferred Path。對每條 Preferred Path，用這條路上的點的深度作為關鍵字，用一棵平衡樹來維護它(在這棵平衡樹中，每個點的左子樹中的點，都在 Preferred Path 中這個點的上方；右子樹中的點，都在 Preferred Path 中這個點的下方)。需要注意的是，這種平衡樹必須支援分離與 合并。這裡，我們選擇 Splay Tree 作為這個平衡樹的資料結構。我們把這棵平衡樹稱為一棵 Auxiliary Tree。知道了樹 T 分解成的這若干條 Preferred Path，我們只需要再知道這些路徑之間的串連關係，就可以表示出這棵樹 T。用 Path Parent 來記錄每棵 Auxiliary Tree 對應的 Preferred Path 中的最高點的父親結點，如果這個 Preferred Path 的最高點就是根結點，那麼令這棵 Auxiliary Tree 的 Path Parent 為 null。Link-Cut Trees 就是將要維護的森林中的每棵樹 T 表示為若干個 Auxiliary Tree。並通過 Path Parent 將這些 Auxiliary Tree 串連起來的資料結構。

 

實際上，對於定義要從兩方面去理解：

首先是邏輯結構，存在著一棵或多棵樹，這是在邏輯上存在的，我們要做的就是對這個森林進行操作與維護；

其次是物理結構，我們並沒有直接儲存這些樹，而是把樹剖分成了多條鏈，每條鏈作為一棵 Splay。Splay 中的最小結點就是鏈的頭結點。

 

回顧一下定義：

ACCESS(訪問)：又叫 Expose，對結點的訪問操作。

Preferred Child(最佳孩子)：最近一次訪問過的兒子。最近一次被訪問過的結點沒有 Preferred Child。

Preferred Edge(最佳邊)：每個結點到 Preferred Child 的邊。

Preferred Path(最佳路徑)：連續的 Preferred Edge 組成的邊。

Auxiliary Tree(輔助樹)：在 Splay 上維護一條鏈，對於 Splay 上的每個結點，它的左子樹上的點都在鏈的上方，右子樹的點都在鏈的下方。

Path Parent(路徑的父親)：記錄鏈上最高結點的父親，也就是 Splay 最左邊結點的父親，用於表示鏈與鏈之間的關係。

 

Link-Cut Trees 的操作Access

ACCESS 操作是 Link-Cut Trees 的所有操作的基礎。假設調用了過程 ACCESS(v)，那麼從點 v 到根結點的路徑就成為一條新的 Preferred Path。如果路徑上經過的某個結點 u 並不是它的父親 parent(u) 的 Preferred Child，那麼由於 parent(u) 的 Preferred Child 會變為 u，原本包含 parent(u) 的 Preferred Path 將不再包含結點 parent(u) 及其之上的部分。

也就是說，過程 ACCESS 會改變邏輯上的樹上的鏈剖分，它將結點 v 到根結點的路徑作為一條新的鏈。而這條鏈會把舊的鏈切割開。

在物理上的 Splay 的表現就是，Splay 中的一些樹被斷開與重組。