電梯停幾次

問題如下:

n個人上電梯,電梯有m層,其中這n個人沒有任何關係,問電梯平均停下幾次.

解法:

考慮抽籤模型,如果有n組簽,每一組有一個真簽和m-1個假簽,m個人來抽(抽n輪),問其中一個人不抽到任何一個真簽的機率是多大?

顯然,一個人不抽到任何一個簽的機率是對這n組簽(每一組有m個,但是,只有一個是真簽)他沒有一次抽到真簽的機率,顯然,對於任何一組簽,他不抽到真簽的機率是1-1/m,所以,他在n次抽籤中沒有一次抽到真簽的機率是(1-1/m)^n.

對於電梯問題,我們考慮停幾次也就是考慮不停幾次.我們設電梯在 1,2,3......m層不停的期望是X1,X2......Xm,顯然有X1=X2=......Xm=(1-1/m)^n(上面抽籤模型)所以電梯不停的期望次數是X1 + X2 + ......Xm=m*(1-1/m)^n(在我的另外一篇文章裡面有,就是從另外一個角度看問題那一篇),所以電梯期望停的次數是m-m*(1-1/m)^n