歐拉函數及其部分性質

歐拉函數是指：對於一個正整數n，小於n且和n互質的正整數（包括1）的個數，記作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。φ(1)=1（唯一和1互質的數就是1本身）。

對於質數p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

歐拉定理：對於互質的正整數a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

歐拉函數是積性函數——若m,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

                                 若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

特殊性質：當n為奇數時，φ(2n)=φ(n)

歐拉函數還有這樣的性質：

設a為N的質因數，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 則有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 則有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

代碼實現：

#include<stdio.h>     //歐拉之實現int ef(int n){int cnt=n;int i;for(i=2;i<=n;i++)if(n%i==0){cnt - =cnt/i;      //   m-m/pwhile(n%i==0)n/=i;}return cnt;}int main(){int n;int m;int count;while(scanf("%d",&m)!=EOF){while(m--){scanf("%d",&n);count=ef(n);printf("%d\n",count);}}return 0;}