圖論中的歐拉迴路

1.1先說說一筆畫定理

　　1736年，歐拉發表了“一筆畫定理”（並且證明了七橋問題的走法根本不存在）：

　　一個圖形要能一筆畫完成必須符合兩個條件，即

            A.圖形是封閉連通的

            B.圖形中的奇點（與奇數條邊相連的點）個數為0或2。(即圖中度為奇數的頂點個數為0或2)

  註：

          奇頂點： 頂點所連邊為奇數的頂點

          偶頂點：頂點所連邊為偶數的頂點

2.1一筆畫定理用圖論的術語來說，

           就是判斷這個圖是否是一個能夠遍曆完所有的邊而沒有重複。這樣的圖稱為歐拉圖。這時遍曆的路徑稱作歐拉路徑（一個圈或者一條鏈），如果路徑閉合（一個圈），則稱為歐拉迴路

2.2.1.無向圖是否具有歐拉通路或迴路的判定:(這裡的通路指首尾不像接，一條鏈)

歐拉通路:圖連通；圖中只有2個度為奇數的節點(就是歐拉路徑的2個端點)

歐拉迴路:圖連通；圖中所有節點度均為偶數

2.2.2.有向圖是否具有歐拉通路或迴路的判定:(這裡的通路指首尾不像接，一條鏈)

歐拉通路:圖連通；除2個端點外其餘節點入度=出度；1個端點入度比出度大1；一個端點入度比出度小1

歐拉迴路:圖連通；所有節點入度=出度

2.3畫一筆畫的規律

　　■⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。
　　■⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。
　　■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(有偶數個奇點除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)
　　比如附圖：（a）為（1）情況，因此可以一筆畫成；（b）（c）（d）則沒有符合以上兩種情況，所以不能一筆畫成。

          

3.1舉例

3.1.1七橋問題(這是七橋問題的抽象)

一是七橋問題抽象化後得到的模型，由四個頂點和七條邊組成。注意到四個頂點全是奇頂點，由定理一可知無法一筆畫成。

3.1.2中國漢字

是中文“串”字抽象化後得到的模型。由於只有最上方和最下方的頂點是奇頂點，由定理一知它可以一筆畫成。

參考：

[1] 歐拉迴路  http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%9B%9E%E8%B7%AF

[2]  一筆畫問題  http://baike.baidu.com/view/429465.htm

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Author: Gary Gao 關注互連網、分布式、高並發、自動化、軟體團隊