歐拉定理

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我們令 Ψ(x) 定義為歐拉函數。

• 歐拉定理描述 ： 

　　　　若 (a , p) = 1 , 那麼 aΨ(p) Ξ 1 (mod p) .

 

• 證明：

　　　　先預熱一下：

　　　　Ⅰ.我們令 x1 , x2 , x3 , ……, xs 為 模p 的簡化剩餘系 (若果對任意的1 ≤ j ≤ s , (xj , p) = 1 並且對於任意的 a ∈ Z ,若 (a , p) = 1 , 那麼有且僅有一個 xj 是 a 對 模p 的剩餘（及xi兩兩不相同) .)其中 s = ψ(p) .

　　　　Ⅱ. 若 {x1,x2,x3,……，xs} 為 mod p 的簡化剩餘系 ， 那麼若 (k , p) = 1 , {k·x1,k·x2,k·x3,……，k·xs}也為 mod p 的簡化剩餘系 ， 證明：

　　　　　　　　若{k·x1,k·x2,k·x3,……，k·xs}不是 mod p的 簡化剩餘系 ， 

　　　　　　　　那麼至少存在一組 k·xi Ξ k·xj (mod p) , i != j :

　　　　　　　　　　　　∴ k · (xi - xj) Ξ 0 (mod p) 

　　　　　　　　　　　　又∵ (k , p) = 1 , ∴(xi - xj) Ξ 0 (mod p) ;

　　　　　　　　　　　　這與 xi ，xj∈ {mod p 的簡化剩餘系} 相矛盾 ， 所以假設不成立 ， 及若 (k , p) = 1 , {k·x1,k·x2,k·x3,……，k·xs}也為 mod p 的簡化剩餘系成立。

　　　　

　　接下來開始真正的證明 ：

　　　　　　我們令 {a1 , a2 , a3 , …… ， an}為 mod p 的簡化剩餘系 ，因為歐拉定理中 (a , p) = 1 , 所以 {a·a1 , a·a2 , a·a3 , …… ，a·an} 也為 mod p 的簡化剩餘系 。

　　　　　　∴ a1 · a2 · a3 · …… · an Ξ a·a1 · a·a2 · a·a3 · …… · a·an Ξ aΨ(p) · a1 · a2 · a3 · …… · an (mod p) ;

　　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　　　　∴ aψ(p) - 1 Ξ 0 (mod p) , ∴ aψ(p) Ξ 1 (mod p) 得證 。

　　　　 

• 歐拉定理的簡單應用：

　　　　　　求 ax mod p  , 其中 （a ， p）= 1 。

　　　　　　x = s · ψ(p) + q , q < ψ(p)

　　　　　　∴ ax Ξ as · ψ(p) + q  Ξ (aψ(p))s · aq Ξ aq Ξ ax mod p (mod p)

　　　　

歐拉定理