拓展歐幾裡得演算法及代碼實現

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擴充歐幾裡得演算法就是求：

　　　　　　ax + by = gcd(a, b)

的一組整數解(x, y)

一、非遞迴的實現：

首先看a = 60, b = 22的情況：

表格左邊是歐幾裡得演算法，右邊等式計算ax + by = gcd(a, b)的解

a = 2 × b + 16	16 = a - 2b
b = 1 × 16 + 6	6 = b - 1 × 16    = b - 1 × (a - 2b) 　= -a + 3b
16 = 2 × 6 + 4	4 = 16 - 2 × 6    = (a - 2b) - 2 × (-a + 3b)    3a - 8b
6 = 1 × 4 + 2	2 = 6 - 1 × 4    = (-a + 3b) - 1 × (3a - 8b)    = -4a + 11b
4 = 2 × 2 + 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

這是《數論導引》裡的虛擬碼：

1. 置x = 1, g = a, v = 0 與 w = b
2. 如果w = 0,則置y = (g - ax)/b，並傳回值(g, x, y)
3. g除以w得餘數t，g = qw + t
4. 置s = x - qv
5. 置(x, g) = (v, w)
6. 置(v, w) = (s, t)
7. 轉到第2步

那麼x是如何計算出來的呢，x是上上次餘數的a的係數減去這次求得的q乘以上次餘數的a的係數

也就是r(n) = r(n-2) - q(n)×r(n-1)　　　　(括弧中的數代表下標)

這句話有點繞，=_=!!。。

再看一般情況的表格：

a = q1b + r1	r1 = a - q1b
b = q2r1 + r2	r2 = b - q2r1
r1 = q3r2 + r3	r3 = r1 - q3r2
……	……

 

 

 

 

 1 int ex_gcd1(int a, int b, int &x, int &y) 2 { 3     int g, v, w, s, t, q; 4     x = 1; 5     v = 0; 6     g = a; 7     w = b; 8     while(w != 0) 9     {10         q = g / w;11         t = g % w;12         s = x - q*v;13         x = v;14         g = w;15         v = s;16         w = t;17     }18     y = (g - a*x) / b;19     return g;20 }

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二、遞迴方式的實現

令a‘ = a%b, t = a/b, y‘ = y + tx

ax + by = g

ax - tbx + tbx + by = g

(a - tb)x + b(tx + y) = g

a‘x + by‘ = g

by‘ + a‘x = g

y = y‘ - tx,y‘是比y深一度的遞迴的y

 1 int ex_gcd2(int a, int b, int &x, int &y) 2 { 3     if(b == 0) 4     { 5         x = 1; 6         y = 0; 7         return a; 8     } 9     int g = ex_gcd2(b, a%b, y, x);10     y = y - a/b*x;11     return g;12 }

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