擴充歐幾裡得演算法（exgcd）

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Bezout定理：

　　對於任意整數a，b，存在一對整數x，y滿足：a*x+b*y=gcd（a，b）

證明如下：

　　在歐幾裡得演算法的最後一步：b=0，即：gcd（a，0）=a

對於b>0，根據歐幾裡得演算法gcd（a，b）=gcd（b，a%b）。假設存在一對x，y滿足：b*x+（a%b）*y=gcd（b，a%b）

因為b*x+（a%b）*y=b*x+（a-b*（a/b））*y=a*y+b*（x-（a/b）*y）   //規定這裡和下一行的除號‘/‘是向下取整。

所以令x‘=y,y‘=x-(a/b)*y,就得到了a*x‘+b*y‘=gcd（a，b）。對歐幾裡得演算法過程應用數學歸納法，該定理成立。

代碼模板如下：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if (b==0) return {x=1; y=0; return a;}//歐幾裡得演算法最後一步，返回gcd(a,b)    int d=gcd(b,a%b,x,y);//歐幾裡得演算法遞迴     int z=x; x=y; y=z-(a/b)*y;    return d; }

注意到，上述的代碼中x,y均是引用的方式進行傳遞的，求出x,y的一組解，並且返回a,b的最大公約數d。

那麼Bezout有什麼具體用處呢？求解線性方程！

具體說明如下：

對於一般的方程：a*x+b*y=c 若方程有解，則滿足裴蜀定理：gcd(a,b) | c ，我們可以先求出a*x+b*y=gcd(a,b)的一組特

解x0，y0,再令x0，y0同*c/d，那麼就是a*x+b*y=c 的一組特解（x0*c/d，y0*c/d）。

乘法逆元，線性同意方程求解都是需要Bezout的。

 

擴充歐幾裡得演算法（exgcd）