歐幾裡得演算法的擴充形式

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這個演算法是用來求滿足下列條件的整數x和y：

　　　　　　　　　　　　　　　　d = gcd(a,b) = ax+by (d為a，b的最大公約數)

 

演算法導論上給出的虛擬碼：

　　　　　　　　EXTENDED_EUCLID（a，b）

　　　　　　　1 if b==0

　　　　　　　2 　　return (a,1,0)

　　　　　　　3 else (d1,x1,y1) = EXTENDED_EUCLID(b,a mod b)

　　　　　　　4 　　(d,x,y) = (d2,y1,y1-(a/b)*y1)

　　　　　　　5 　　return （d，x，y）

 

注意第四行是關鍵。

 

如果看不懂沒關係，下面給出推導過程：

　　

　　gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同時都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。

　　因為　i%j = i-(i/j)*j,所以可以將右邊變形為如下形式

　　　　b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，最終得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

　　也就是說，上一深度的x等於下一深度的y1，上一深度的y等於下一深度的x1-(a/b)*y1。    需要注意，上面推導時用的除法都是整型除法

 

例題:

　　題目連結:http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=775

思路:直接套即可，貼出代碼，方便理解

　　

 #include <iostream>#include <cstdio> using namespace std;int x,y,d;//d代表最大公約數void extend_gcd(int a,int b){    int t;//用來記錄當前的x值，因為在計算y的時候會用到    if(b==0)    {        x = 1;        y = 0;        d = a;    }    else    {        extend_gcd(b,a%b);        t = x;        x = y;        y = t-(a/b)*y;    } } int main(){    int a,b;    while(scanf("%d %d",&a,&b)!=EOF)    {            extend_gcd(a,b);        printf("%d %d\n",x,y);    }         return 0;}        

 

參考資料：http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/09/02/2164404.html

 

歐幾裡得演算法的擴充形式