極值問題（acms）

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【問題描述】

已知m、n為整數，且滿足下列兩個條件：

① m、n∈{1，2，…，k}，即1≤m，n≤k，（1≤k≤109）。

②（n2－m*n－m2）2＝1

你的任務是：編程輸入正整數k，求一組滿足上述兩個條件的m、n，並且使m2＋n2的值最大。例如，從鍵盤輸入k=1995，則輸出：m=987   n=1597。

【輸入範例】

1995

【輸出範例】

m=987

n=1597

代碼如下：

 1     long m,n,k; 2     double delt1,delt2,n1,n2; 3     scanf("%d",&k); 4     for(m=k;m>=1;m--) 5     { 6         delt1=sqrt(5*m*m+4); 7         n1=(m+delt1)/2; 8         n=n1; 9         if(n==n1&&n<=k) break;10 11         delt2=sqrt(5*m*m-4);12         n2=(m+delt2)/2;13         n=n2;14         if(n==n2&&n<=k) break;15     }16     printf("m=%d\nn=%d\n",m,n);

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批註：該演算法確實挺好，簡潔、高效率，但是有一個問題比較明顯，那就是當k的值達到10^9時，for迴圈內，m從k開始向1遍曆。當m的值取10^9時，計算delt的時候，m^2會溢出。而且並非只有當k達到10^9才會有這個問題，當k達到10^5時就會出現這個問題。想要自己寫一個函數去實現高精度數的開平方根，似乎也不是這麼容易。所以，可以看看下面的遞推演算法。

標準答案是：

代碼如下：

 1         int n=1,m=1,k,t; 2     cin>>k; 3     do 4     { 5         t=n+m; 6         if(t<=k) 7         { 8             m=n; 9                 n=t;10         }11     }12     while(t<=k);13     cout<<"m="<<m<<endl<<"n="<<n;

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批註：一開始閱讀該演算法，實在無法理解為何會是跟斐波那契數列一樣的規律。後來查資料，閱讀理解，終於看懂。下面做一個記錄。

 

極值問題（acms）