農夫過樁渡河(動態廣搜)

      第一次寫部落格，還有點興奮。好久以前就想寫部落格，遲遲沒動筆，今天算是一個開始。

      這幾天研究了一下廣度搜尋演算法，有一點心得。以前老是深度搜尋，用遞迴實現，從來沒有用過廣搜，直到前幾天參加ITAT複賽時，看了下資料結構上迷宮的廣搜演算法，大概知道了廣搜是如何?的了。於是就動手用廣搜解決一個Sramoc問題，沒想到一下就解決了，只不過遇到了int溢出問題，所以在CSDN提問了，遲遲沒人回答。接下來，就動手陸續解決了”六數位“，”奇怪的電梯“，還有”農夫過樁渡河“等問題。其實，個人感覺廣搜比深思更容易實現一下，因為廣搜不需要回溯，只要遇到滿足條件的就進隊，減少了回溯的實現過程。而且實現步驟也很簡單，大致分為這幾步：（1）初始狀態入隊；（2）隊前端節點出隊，以此節點擴充，如果滿足條件，則後續節點入隊；（3）如果到達目標狀態，則輸出，可以退出了，否則轉（2）；（4）如果隊列為空白，則無解。這樣有一個明顯的特徵就是擴充是按層進行的，其實本質就是樹裡面的層次序遍曆過程，層數就是目前狀態下已經走過的步數（或次數等等），那麼最短路徑（最少次數，最短時間等）也就是求這個層數，不過一般不會特別在意這個層數，也不會刻意去儲存它。程式中需要重點處理的是節點狀態的表示，避免節點的重複以及限制條件的表示。

      節點如何表示？一般都是採用結構體，把重要的資訊儲存起來，以用來擴充，這個結構體一般包括當前所處位置（即訪問數組的下標）和資料等，如果需要列印路徑則需要儲存前驅節點（即從哪個節點擴充來的，就是我們所說的父節點），迷宮就是一個典型的例子，還有特殊情況就需要儲存當前所處層數，本題就是如此。這裡需要說明一下，一般最好不要用C++類庫裡面提供的queue用法，主要有兩個問題：（1）不能列印路徑，因為隊前端節點都已經彈出了嘛，當然也不能求最少次數了；（2）這裡的queue是一個環形隊列，可能在隊列很長時會覆蓋某些已擴充節點（跳到隊頭），以節損空間，這是我們班高手告訴我的。總之，用隊列主要解決的是相對不是很複雜的，而且不需要列印路徑或求最少次數而只需要判斷能否到達目標狀態（即是否有解）的題目，這樣用隊列處理起來比較方便，程式也比較簡潔。

      如何判斷節點是否重複？一般我們會用一個很大的標記數組來表示所有可能的狀態，注意：這個數組一定要能夠表示所有狀態，否則會無解或不能夠求得最優解。處理方法就是：如果當前節點已經入隊，則標記為1（初始均為0），在下次出隊遇到時便跳過去，不重複擴充已擴充節點，這樣會大大減少冗餘的擴充次數，提高效率。其實，我們可以這樣想，存在重複的節點則說明繞圈形成環了，也就是說由樹變為圖了，這樣不停地繞來繞去，什麼時候是個頭啊？而且在極少數情況下會形成死迴圈無能求出解，或者至少也會大大延長求解時間，因為隊列多了很多冗餘的值，需要不停地出隊才能找到那個解。

      還有一個就是限制條件的表示，只有滿足條件的節點才能入隊，這樣做的優點類似於節點的判重，而且判重本身也是限制條件。由於各種題目不一樣，限制條件也不同，所以需要具體問題具體分析了。

      說了這麼多，我們可以看出深搜與廣搜的一些不同。（1）首先從題目入手，帶”最“字求最優解的一般都是用廣搜，而求所有解的一般都是用深搜，還有就是有明顯邊界條件的用深搜，反之用廣搜。（2）廣搜用隊列實現，可以說是空間換時間，很耗記憶體，儲存了那麼多節點而且還要用標記數組判重，但是效率很高，不停地往前走，找到的解就是最優解；而深搜是用棧或遞迴（本質還是用棧）實現，用時間換空間（深度很大時也會很耗記憶體），因為每次只需要儲存當前路徑的狀態資訊，但是會有回溯過程，不停地向前或向後跑，浪費了很多時間，而且找到的解還不能確定是最優解，還有存起來最後進行判斷和選擇。不過為了效率，兩者都可以剪枝，進行啟發學習法搜尋（3）從實現上來說，個人認為廣搜更容易編程實現，因為不需要回溯，只要遇到滿足條件的就入隊，最後的最優解一定是在這個隊列裡的，套用一句經典的話就是”不管黑貓白貓，抓到老鼠就是好貓“。這兩種搜尋方法各有優劣，用哪種要看個人習慣，也要因題而異。典型的八皇后，馬的巡遊等問題用深搜，而八數位，農夫過河（與此題不同）等問題則用廣搜。

      好，說到正題了。乍看題目，覺得”動態廣搜“這個詞語有點意思，有人會不會覺得是動態規劃+廣度搜尋？其實不然，這裡所說的動態，是相對於一般的廣搜問題的靜態而言的。為什麼說一般的題目都是靜態？因為題目中有固定不變的擴充條件，就像六數位問題中只有固定的α，β變幻方式，不會隨著其他的因素而產生變化。而本題的最大特點在於每種擴充方式在不同的時刻會發生變化，不是固定不變的。於是也就產生了不同的處理方法。從程式中也可以看出來，一般廣搜程式的模式就是最外層while（隊列非空）.....而此題的while語句外面還有一層迴圈，就是時間自增的迴圈。那麼求解方法會產生什麼不一樣的呢？一般的廣搜不需要管上層是否擴充完，就可以實現下層的擴充，而此題不行，因為外面還有時間的自增。可能存在上層（t-1時刻）的節點還沒有被擴充完，便進入了下層（t時刻）擴充，這樣本來在t-1時刻擴充完畢的情況下能找到最優解的，但是現在不能了，因為隨著時間的增加，節點記錄的時間會不斷增大，當然最後求得的時間不是最短時間了。不信你可以試一下，去掉這個while迴圈，你會看到”最短時間“會變大，也就不是最短時間了。我沒加while迴圈時求得的時間是17，而正確答案是4。仔細體會這裡面的區別，相信你會理解的。還有程式中兩個為什麼的注釋也需要仔細揣摩（當然這是個人編程風格不同），說一下不這麼處理的情況。（1）如果在while迴圈裡面自增了，那麼也就意味著出隊了，那麼在下降狀態足夠長的情況下，農夫可能只能站在一個樁上了，現在再一出隊隊列就為空白了，而這樣不就無解了嘛，但是事實是只要時間足夠長就一定會到達對岸的（粗略證明一下：如果當前時刻農夫只能站在原樁上，那麼以後必然存在一個時刻使農夫能夠往前走，那麼只要這樣不停地走下去，就一定會到達對岸），不信你試一下把（2,1）後面的（1,1）改成（1,100）試試，你會發現程式中途停止了運行，原因就是隊列為空白了。（2）另外就是為什麼Push（cur，t）的位置不能放後面，有人會說先入後入(相對於cur+1->min（cur+5，len））不是一樣的嘛，因為由於front在while裡面沒有自增也就是沒有出隊，那麼可能本次擴充會延續到下一時刻（t+1時刻），但是記錄的還是本時刻，因此”最短時間“會縮短，不信試一下，把這個語句放到後面，你求得的最短時間會是3。這兩種處理方法會產生連鎖反應，聯合在一起才會達到想要的效果。

     好了，下面是題目、代碼和詳細注釋，歡迎各位提出更好的處理方法，進一步降低處理難度並提高程式的執行效率。

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Description
       農夫每天去種地都要經過一條河，這條河很寬，過河要走上面的木樁。木樁有n支，排成一排，從左岸延伸到右岸，編號為1到n.左岸在1號樁的左邊，右岸在n號樁的右邊。但 這些木樁會定時升降，因此每天他都花不少時間在過河上。所以他想找一種最快過河的方法。 在時刻0，農夫在左岸，他要在最短時間內到達對岸。在任何時刻，每一支樁都只能處在升或降的其中一種狀態。  升起的樁才可以站上去，農夫只能站在升起的樁上或岸上。 每一支樁在時刻0都是降的狀態，接著升起A分鐘，降下B分鐘，再升起A分鐘，降下B分鐘，這樣一直交替下去。例如A=2,B=3的樁，在時刻1
2升，在時刻3 4 5降。A和B是時間常數，對每個樁可能不一樣。  設在時刻t農夫站在p樁，那麼在時刻t+1,農夫能走到p樁的左右5個樁上或岸上，也可以原地不動，當然樁是可站立的。例如，在5號樁，他能走到1，2，3，4，5，6，7，8，9，10或到左岸。 請幫農夫找一種能最快到達右岸的方法。
  
Input
             
第一行是樁的數目n( 5 <n <=1000).接下來的n行每一行有2個整數A和B(1<=A,B <=5),按從1到n的順序描述每個樁的升降情況。
                
Output
                           
最早到右岸的時刻。當不可以到達時輸出NO
                              
              Sample  Input                   
                                            
              10
              11
              11
              11
              11
              21
              11
              11
              11
              11
              11
              Sample  Output

              4
*****************************************************************/

#include<iostream>
#include<cstdlib>

using namespace std;

const int MAX = 1000;
const int TIME = 10000;
const int SIZE = 100000000;
const int DN = 0;
const int UP = 1;

int a[MAX][3];  //每根樁升降的時間間隔
int mark[TIME][MAX];   //標記t時刻某根樁上是否已經站了人，防止重複站人，大大提高效率
int front, rear;

struct Queue
{
       int pos;  //所在位置（即哪個樁上）
       int time; //本次所處時間
}q[SIZE];

int min(int a, int b)
{
       return(a < b ? a : b);
}

void Push(int t, int pos)
{
        if(mark[t][pos])  return;  //若目前時間下該狀態已入隊，則不再入隊，避免重複擴充，大大減少了擴充次數

        q[++rear].pos = pos; 
        q[rear].time = t;

        mark[t][pos] = 1;  //置標記為1，表示已入隊
}

void main()
{
       int n;   //實際輸入數組長度
       int cur; //當前所處位置
       int len = 1;
       int state; //表示木樁所處狀態

       cin >> n;

       while(len <= n)
       {
              cin >> a[len][0] >> a[len][1];

              a[len][2] = a[len][0] + a[len][1];  //計算出每次完整時間周期，減少在隊列中的重複運算

               len ++;
        }

        front = rear = -1;  //初始狀態入隊
        q[++rear].pos = 0;
        q[rear].time = 0;

        for(int t = 1; ; t ++)
        {      //隊列按時間t分層，在本層擴充時上層的必須擴充完畢，這樣才能保證求到最短時間

                while(front == -1 || q[front].time == t-1)   

              //（1）為什麼這裡front自增1次會出現問題？ 因為這裡可能導致隊列為空白 ,但是隊列是不可能也不可為空的,至少農夫可以不動   

                 {                                                          
                         cur = q[++front].pos;  //出隊，開始擴充節點

                         mark[t][cur] = 0;  //始終可以站在原樁上，標記為0，可擴充
                         Push(t, cur);

                         for(int i = cur+1, mod = 0; i <= min(cur+5,len); i ++)
                         {
                                if(i == len)  //到達對岸便輸出最短時間，並退出（入隊時判斷而不是出隊時判斷）
                                {
                                        cout << endl << t << endl;

                                        exit(0);
                                 }

                                mod = t % a[i][2];

                                state = (mod && mod <= a[i][0] ? UP : DN);  

                                //得到後5個樁目前時間的狀態，不需要每個都計算

                                 if(state == DN)  break;  //如果將上的樁是下降狀態，則停止前進

                                 Push(t, i);
                          } //不必再跑到（當前樁）前5個樁上去了，即使此時沒有樁可以上也可以停在原樁上，而不必再後退到前面的樁上；退一步講，即使前面5個某樁可以跳到原樁面，那原樁必然也可以走到此處，因為這段肯定都是上升狀態而且說不定還可以走得更遠，所以無論如何都不需要往後退到前5個樁上，題目說能走到前面5個樁上實際是個幹擾

                            //Push(t, cur); //（2）為什麼這句放這裡會出現問題？可能導致求解時間更短（不是正確的解）
               }                                        //應該是因為在while判斷時front沒有自增然後繼續擴充到下1時刻去了
        }                       
}