FFT頻譜分析以及時域頻域上參數關係

1.解讀時域連續訊號離散傅裡葉分析的處理步驟：

首先，一個時域訊號x(t)(頻譜為x(jw))通過一個低通濾波器，頻譜上就是截斷x(jw)在某一頻段，至於這頻段為多少：

為了滿足採樣定理，x'(t)的頻譜2*π*f'<=π*fs=π/T  (這裡的T為採樣周期)，因此低通濾波器的最大頻段為-π/T到π/T，也就是x(jw)的頻段最大範圍為-π/T到π/T；

而後，經過A/D轉換器，時域上的採樣在頻域上為周期延拓，因此x(n)的離散頻譜x(e^jw)為x(jw)的周期延拓，並且x(e^jw)的周期為2π（這是離散傅裡葉變換的特性）；

再，為了進行FFT的計算，我們不允許x(n)的n範圍為無窮大，需要限制，故需要與一個窗函數w(n)在時域上相乘，利用時域上相乘代表頻域上的卷積可以得知

因為y(n)=x(n)*w(n),所以y(e^jw)是w(e^jw)與x(e^jw)的卷積結果；

最後，得到了y(e^jw)，所以y(k)=y(e^jw)（w=2π/N*k）,這裡的N代表著N點DFT。

2.時域頻域之間的關係

我們假設頻譜解析度為F，採樣周期為T（採樣頻率f=1/T）,t為時域上截取後的訊號長度，N為訊號點數

（1）由時域推到頻域：

因為時域上的間隔即採樣周期T=t/N(s)

所以頻譜上的長度fs=1/T=N/t(hz),，頻譜間隔為1/t(hz)

因此轉換單位後,頻譜間隔：1/t(hz)=2π/t(rad/s)=2πT/t(rad)  利用N=t/T的關係，最後得到頻譜間隔2π/N。

（2）頻域上推到時域：

因為頻譜間隔w=2*π/N(rad),轉換成rad/s的單位Ω=w/T=2π/NT(rad/s)    再轉換成hz的單位f=Ω/2π=1/NT(hz)

因此時域上的樣本長度為t=1/f=NT(s)

故採樣周期T=t/N=T(s)

最後也可以得出，如果時域上的間隔為fs(hz)，則頻譜上的間隔為fs/N(hz)；

如果頻譜上的間隔為fs(hz)，則時域上的間隔為fs*N(hz)。