求數組插值——複雜度為O(n)的快速演算法

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一、問題描述

令A[1...n]是一個由n個數組成的數組，定義為數組A的插值，其中|a|

表示a的絕對值。設計一個求數組插值的演算法（用偽碼描述）並分析演算法的時間複雜度。

二、解決方案核心思想：

將求數組差值問題轉換為熟知的求數組最大連續子序列和問題。

實現過程：

數組A有n個元素如下：[A0,A1,A2,A3,...,An]，我們不妨先做一次轉換，即建立新的數組B，B中有n-1個元素，分別是：

B0=A0-A1；

B1=A1-A2;

B2=A2-A3;

······

Bn-1=An-1-An-2;

假設數組A的差值為|Ai-Aj|，那麼，對應的，|Ai-Aj|=|Bi + Bi+1 +...+ Bj-1|，顯然，求數組A的差值問題就被我們轉換成了求數組B的最大連續子序列和的絕對值的問題。

而通過動態規劃，我們能夠實現演算法複雜度為O(n)。

過程偽碼（JAVA代碼）：

public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubArrayList<Integer> A = new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(A1,A2,···,An));ArrayList<Integer> B = new ArrayList<Integer>();                //建立數組for (int i = 0 ; i < A.size()-1 ; i++){B.add(A.get(i) - A.get(i+1));}                                                                                        //向數組B中添加元素Ai-Ai+1//動態規劃實現過程int maxhere,maxsum;maxhere=maxsum=B.get(0);for (int i = 1 ; i < B.size() ; i++){if (Math.abs(maxhere+B.get(i)) < Math.abs(B.get(i))){maxhere = B.get(i);}                                                                                    /*如果前面位置到A[i]的最大子序列和絕對值反而比|A[i]|要小，則以當前位置i結尾的最大子序列和為A[i]*/else{maxhere += B.get(i);}                                                                                   /*如果前面位置到A[i]的最大子序列和絕對值要比之前位置的更大，則取最大子序列和絕對值為兩者之和*/if (Math.abs(maxhere) > Math.abs(maxsum)){maxsum = maxhere;}                                                                                     //更新最大子序列和的絕對值}System.out.println(Math.abs(maxsum));}

演算法複雜度分析：

建立數組B的演算法複雜度為O(n-1)，實現最大子序列和絕對值的演算法複雜度為O(n-1)，則總體演算法複雜度為O(n-1)+O(n-1)=O(n)，屬於比較快速的演算法。

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求數組插值——複雜度為O(n)的快速演算法