Floyd演算法——Cycle detection

今天在寢室看了POJ 上一道拓撲排序的題POJ1094 到實驗室之後正好被歐陽看到，跟我說了另外一種演算法Floyd
Warshall 具體參見 http://en.wikipedia.org/wiki/Floyd–Warshall_algorithm 其實就是求任意兩點間的最短路徑的Floyd演算法，這個也能拓展到閉包問題上去。基本思路就是：在某種關係下，頂點i 到k 拓撲有序，頂點k 到 j也是相同的順序，那麼 i 和 j 也存在這個順序。要是某一個頂點出現了自己到自己的環，那麼圖中就有環，但是這種方法複雜度高一些，沒有檢測頂點出度或者DFS的方法快，但是非常簡單。

let dist be a |V| × |V| array  initialized to 0 for each vertex v   dist[v][v] ← 0 for each edge (u,v)   dist[u][v] ← 1  // u,v in order for k from 1 to |V|   for i from 1 to |V|      for j from 1 to |V|         if dist[i][k]  && dist[k][j]  then            dist[i][j]  // i,j in order  for i from 1 to |V|     if dist[i][i] // self circle        // circle detected

不經意發現了連結上有另外一個問題：如何判斷鏈表中是否有環，環的起點和環的長度如何確定。http://en.wikipedia.org/wiki/Floyd's_cycle-finding_algorithm#Tortoise_and_hare 這裡面有很詳細的介紹，但是我沒怎麼看懂(英文太差）後來搜了一下，發現一篇部落格上講的很好。 原帖地址： http://blog.csdn.net/thestoryofsnow/article/details/6822576

問題：如何檢測一個鏈表是否有環，如果有，那麼如何確定環的起點.

龜兔解法的基本思想可以用我們跑步的例子來解釋，如果兩個人同時出發，如果賽道有環，那麼快的一方總能追上慢的一方。進一步想，追上時快的一方肯定比慢的一方多跑了幾圈，即多跑的路的長度是圈的長度的倍數。

基於上面的想法，Floyd用兩個指標，一個慢指標（龜）每次前進一步，快指標（兔）指標每次前進兩步（兩步或多步效果是等價的，只要一個比另一個快就行，從後面的討論我們可以看出這一點）。如果兩者在鏈表頭以外的某一點相遇（即相等）了，那麼說明鏈表有環，否則，如果（快指標）到達了鏈表的結尾，那麼說明沒環。

環的檢測從上面的解釋理解起來應該沒有問題。接下來我們來看一下如何確定環的起點，這也是Floyd解法的第二部分。方法是將慢指標（或快指標）移到鏈表起點，兩者同時移動，每次移動一步，那麼兩者相遇的地方就是環的起點。

   這樣做的道理我用解釋。假設起點到環的起點距離為m，已經確定有環，環的周長為n，（第一次）相遇點距離環的起點的距離是k。那麼當兩者相遇時，慢指標移動的總距離為i，i = m + a * n
+ k，因為快指標移動速度為慢指標的兩倍，那麼快指標的移動距離為2i，2i = m + b * n + k。其中，a和b分別為慢指標和快指標在第一次相遇時轉過的圈數。我們讓兩者相減（快減慢），那麼有i = (b - a) * n。即i是圈長度的倍數。利用這個結論我們就可以理解Floyd解法為什麼能確定環的起點。將一個指標移到鏈表起點，另一個指標不變，即距離鏈表起點為i處，兩者同時移動，每次移動一步。當第一個指標前進了m，即到達環起點時，另一個指標距離鏈表起點為i + m。考慮到i為圈長度的倍數，可以理解為指標從鏈表起點出發，走到環起點，然後繞環轉了幾圈，所以第二個指標也必然在環的起點。即兩者相遇點就是環的起點。

 

Python：def floyd(f, x0):   # The main phase of the algorithm, finding a repetition x_mu = x_2mu   # The hare moves twice as quickly as the tortoise   # Eventually they will both be inside the cycle    # and the distance between them will increase by 1 until   # it is divisible by the length of the cycle.   tortoise = f(x0) # f(x0) is the element/node next to x0.   hare = f(f(x0))   while tortoise != hare:       tortoise = f(tortoise)       hare = f(f(hare))   # at this point the position of tortoise which is the distance between    # hare and tortoise is divisible by the length of the cycle.    # so hare moving in circle and tortoise (set to x0) moving towards    # the circle will intersect at the beginning of the circle.   # Find the position of the first repetition of length mu   # The hare and tortoise move at the same speeds   mu = 0   tortoise = x0   while tortoise != hare:       tortoise = f(tortoise)       hare = f(hare)       mu += 1   # Find the length of the shortest cycle starting from x_mu   # The hare moves while the tortoise stays still   lam = 1   hare = f(tortoise)   while tortoise != hare:       hare = f(hare)       lam += 1   return lam, mu