求10000以內質數（以前都是直接打表，現在問到怎麼求，瞬間詞窮了，還是應該搞懂）

標籤：電腦   數學   質數   篩選法   

對於求10000以內質數，首先先考慮這個確定性範圍的問題，後面再考慮複雜的。

前言摘抄：素數是除了1和它本身之外再不能被其他數整除的自然數。由於找不到一個通項公式來表示所有的素數，所以對於數學家來說， 素數一直是一個未解之謎。像著名的 哥德巴哈猜想、孿生素數猜想，幾百年來不知吸引了世界上多少優秀的數學家。儘管他們苦心鑽研，嘔心瀝血，但至今仍然未見分曉。
自從有了電腦之後，人們藉助於電腦的威力，已經找到了2^{216091以內的所有素數。
求素數的方法有很多種，最簡單的方法是根據素數的定義來求。對於一個自然數N，用大於1小於N的各個自然數都去除一下N，如果都除不盡，則N為素數，否則N為合數。
但是，如果用素數定義的方法來編製電腦程式，它的效率一定是非常低的，因為其中很多次有重複判定，而且某些值可以跳過，其中有許多地方都值得改進。
第一，對於一個自然數N，只要能被一個非1非自身的數整除，它就肯定不是素數，所以不
必再用其他的數去除。
第二，對於N來說，只需用小於N的素數去除就可以了。例如，如果N能被15整除，實際
上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那麼N也決不會被15整除。
第三，對於N來說，不必用從2到N一1的所有素數去除，只需用小於等於√N(根號N)的所有素數去除就可以了。這一點可以用反證法來證明：
如果N是合數，則一定存在大於1小於N的整數d1和d2，使得N=d1×d2。
如果d1和d2均大於√N，則有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。
而這是不可能的，所以，d1和d2中必有一個小於或等於√N。
基於上述分析，設計演算法如下：
(1)用2，3，5，7逐個試除N的方法求出100以內的所有素數。(複雜度降低的n多。。。)
(2)用100以內的所有素數逐個試除的方法求出10000以內的素數。
首先，將2，3，5，7分別存放在a[1]、a[2]、a[3]、a[4]中，以後每求出一個素數，只要不大於100，就依次存放在A數組中的一個單元 中。可以求出100以內有25個質數；當我們求100—10000之間的素數時，可依次用a[1]－a[25]的素數去試除N，這個範圍內的素數可以不儲存，直接列印。}

代碼：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <iomanip>using namespace std;int a[30]; // 用於存放100以內的質數int j = 5;int line = 0;// 先求出100以內的質數，輸出並儲存。void solve100(){for (int i = 11; i < 100; i++) {if (i % a[2] && i % a[3] && i % a[4] && i % a[5]) {a[++j] = i;if (line % 10 == 0) {cout << endl;}cout << setw(5) << i;line++;}}}// 判斷並輸出100~10000的質數void solve10000(){for (int i = 101; i < 10000; i++) {bool flag = true;for (int k = 2; k <= j; k++) {if (i % a[k] == 0) {flag = false;break;}}if (flag) {if (line % 10 == 0) {cout << endl;}cout << setw(5) << i;line++;}}}int main(){// 先直接輸出10以內的質數a[0] = 0;a[1] = 1, a[2] = 2, a[3] = 3, a[4] = 5, a[5] = 7;cout << setw(5) << a[2];cout << setw(5) << a[3];cout << setw(5) << a[4];cout << setw(5) << a[5];line = 4;solve100();solve10000();cout << "\n10000以內質數個數為: " << line<< endl;return 0;}/* 輸出2    3    5    7   11   13   17   19   23   2931   37   41   43   47   53   59   61   67   7173   79   83   89   97  101  103  107  109  113127  131  137  139  149  151  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算出的結果和質數定理算出的1229個質數相同，可自行驗證。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

上面簡單介紹了10000以內質數的一個求解方法，下面說兩個數學上的方法：

用篩法求素數。
簡單介紹一下厄拉多塞篩法。厄拉多塞是一位古希臘數學家，他在尋找素數時，採用了一種與眾不同的方法：先將2－N的各數寫在紙上：
在2的上面畫一個圓圈，然後划去2的其他倍數；第一個既未畫圈又沒有被划去的數是3，將它畫圈，再划去3的其他倍數；現在既未畫圈又沒有被划去的第一個數 是5，將它畫圈，並划去5的其他倍數……依次類推，一直到所有小於或等於N的各數都畫了圈或划去為止。這時，表中畫了圈的以及未划去的那些數正好就是小於 N的素數。
這很像一面篩子，把滿足條件的數留下來，把不滿足條件的數篩掉。由於這種方法是厄拉多塞首先發明的，所以，後人就把這種方法稱作厄拉多塞篩法。
在電腦中，篩法可以用給數組單元置零的方法來實現。具體來說就是：首先開一個數組：a[i]，i=1，2，3，…，同時，令所有的數組元素都等於下標 值，即a[i]=i，當i不是素數時，令a[i]=0 。當輸出結果時，只要判斷a[i]是否等於零即可，如果a[i]=0，則令i=i+1，檢查下一個a[i]。
篩法是電腦程式設計中常用的演算法之一。

借用一張圖來示範：

代碼：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <iomanip>using namespace std;int a[10005];void init(){for (int i = 0; i <= 10000; i++) {a[i] = i;}}void solve(){for (int i = 2; i <= 10000; i++) {while (a[i] == 0) {i++;}for (int k = 2, j = k * i; j <= 10000; j = (++k) * i) {a[j] = 0;}}}void printAns(){int line = 0;for (int i = 2; i < 10000; i++) {while (a[i] == 0) {i++;}if (i >= 10000) {break;}if (line != 0 && line % 10 == 0) {cout << endl;}cout << setw(5) << i;line++;}cout << "\n10000以內的質數個數為：" << line << endl;}int main(){init();solve();printAns();return 0;}

去第一種結果相同。

用6N±1法求素數。
任何一個自然數，總可以表示成為如下的形式之一：
6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
顯然，當N≥1時，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素數，只有形如6N+1和6N+5的自然數有可能是素數。所以，除了2和3之外，所有的素數都可以表示成6N±1的形式(N為自然數)。
根據上述分析，我們可以構造另一面篩子，只對形如6 N±1的自然數進行篩選，這樣就可以大大減少篩選的次數，從而進一步提高程式的運行效率和速度。
在程式上，我們可以用一個二重迴圈實現這一點，外迴圈i按3的倍數遞增，內迴圈j為0－1的迴圈，則2(i+j)-1恰好就是形如6N±1的自然數。

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求10000以內質數（以前都是直接打表，現在問到怎麼求，瞬間詞窮了，還是應該搞懂）