傅立葉變換和小波分析

無論是傅立葉變換還是小波變換，其實質都是一樣的，既：將訊號在時間域和頻率域之間相互轉換，從看似複雜的資料中找出一些直觀的資訊，再對它進行分析。由於訊號往往在頻域有比在時域更加簡單和直觀的特性，所以，大部分訊號分析的工作是在頻域中進行的。音樂——其實就是時/頻分析的一個極好例子，樂譜就是音樂在頻域的訊號分布，而音樂就是將樂譜變換到時域之後的函數。從音樂到樂譜，是一次傅立葉或小波變換；從樂譜到音樂，就是一次傅立葉或小波逆變換。

1、傅立葉變換

   可以理解為：任意一條在實數域內有意義的曲線都可以分解為若干個正弦曲線的疊加。傅立葉變換與分形的原理其實是同源的，不要小瞧這個變換，它可能就是宇宙的一個最基本法則。換句通俗的話說就是：無論多麼複雜的物質，都可以用幾種簡單的基本物質通過一定方式的組合來構成。小到分子原子，中到地形地貌，大到銀河系宇宙，其實都是這樣。

   但是，傅立葉變換也有它的缺陷。由於正弦波是無限寬度的，這使得被分析的訊號也需要具有從負無窮大到正無窮大都有意義的特性，所以傅立葉變換不能很好的處理一些局部訊號。比如，一個在局部範圍內有非0值而其餘所有地方都等於0的函數，它的頻譜會呈現出一幅相當混亂的狀況。這時，頻域的訊號反而不如時域的直觀，頻譜分析變得很艱難。

2、小波分析

   為了克服傅立葉變換的這些缺陷，數學家和工程師們已經開發出若干種使用有限寬度基函數進行變換的方法。這些基函數不僅在頻率上而且在位置上是變化的，這些有限寬度的波被稱為“小波”（Wavelet）。基於它們的變換被稱為“小波變換”（Wavelet transforms）。

   小波變換的概念是由法國從事石油訊號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和訊號處理的實際需要經驗的建立了反演公式，當時未能得到數學家的認可。正如1807年法國的熱學工程師J.B.J.Fourier提出任一函數都能展開成三角函數的無窮級數的創新概念未能得到著名數學家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認可一樣。幸運的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發現、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準備，而且J.O.Stromberg還構造了曆史上非常類似於現在的小波基；1986年著名數學家Y.Meyer偶然構造出一個真正的小波基，並與S.Mallat合作建立了構造小波基的同意方法棗多尺度分析之後，小波分析才開始蓬勃發展起來，其中比利時女數學家I.Daubechies撰寫的《小波十講（Ten Lectures on Wavelets）》對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、視窗Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局域變換，因而能有效從訊號中提取資訊，通過伸縮和平移等運算功能對函數或訊號進行多尺度細化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽為“數學顯微鏡”，它是調和分析發展史上裡程碑式的進展。

   小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密地結合在一起的。現在，它已經在科技資訊產業領域取得了令人矚目的成就。電子資訊技術是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是映像和訊號處理。現今，訊號處理已經成為當代科學技術工作的重要部分，訊號處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或儲存、精確地重構（或恢複）。從數學的角度來看，訊號與影像處理可以統一看作是訊號處理（映像可以看作是二維訊號），在小波分析地許多分析的許多應用中，都可以歸結為訊號處理問題。現在，對於其性質隨實踐是穩定不變的訊號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應用中的絕大多數訊號是非穩定的，而特別適用於非穩定訊號的工具就是小波分析。

    事實上小波分析的應用領域十分廣泛，它包括：數學領域的許多學科；訊號分析、影像處理；量子力學、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；電腦分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫學成像與診斷；地震勘探資料處理；大型主機械的故障診斷等方面；例如，在數學方面，它已用於數值分析、構造快速數值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、控制論等。在訊號分析方面的濾波、去雜訊、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識別與診斷，去汙等。在醫學成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高解析度等。

     (1)小波分析用於訊號與映像壓縮是小波分析應用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮後能保持訊號與映像的特徵不變，且在傳遞中可以抗幹擾。基於小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。

     (2)小波在訊號分析中的應用也十分廣泛。它可以用於邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱訊號、求分形指數、訊號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。

     (3)在工程技術等方面的應用。包括電腦視覺、電腦圖形學、曲線設計、湍流、遠程宇宙的研究與生物醫學方面。

 

4、Gabor Filter（Gabor濾波器）

     

Gabor小波是小波集中的一種，公式見（下面的連結）。從外形上看，Gabor小波被封裝在一個Gaussion分布的形狀中，而且它的積分為零。如果要將Gabor filter在三維中顯示出來，應該是下面這個樣子，左邊是實部（偶函數），右邊是虛部（奇函數）。http://cs.ccnu.edu.cn/wjylwjyl/kjqy/paper/Recognition.htm

通過改變k的相位和波長，可以得到一組不同的Gabor濾波器。出於速度和效果的綜合考慮，一般使用8個方向和5種頻率，這樣，一共可以產生5x8=40個不同的Gabor濾波器。對於大小為128x128的圖象，最小和最大頻率的波長分別為16和4個象素。

4、Jet

將原始映像分別與每一個Gabor濾波器做卷積，會得到40個結果（注意，實部和虛部必須分開才能做卷積）。對於每一個輸入的像素而言，則會產生40個輸出的複數，我們將這40個複數按濾波器的順序排列好，就是一個Jet.

如何做卷積？對於每個象素，將兩個映像錯開一定的距離放在一起，將重疊的像素相乘後累加。當然別忘了還有個經典公式：時域卷積 = 頻域相乘。只要事先將圖象變換到頻域，相乘後，再反變換回時域即可。好在老外早在幾十年前就發明了快速傅立葉變換演算法（FFT），將原本是N*N的計算量減少到了N/2*log2N，使得訊號在頻域和時域中的轉換變得十分快速。