弗洛伊德演算法（Floyd演算法）

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弗洛伊德演算法介紹

和Dijkstra演算法一樣，弗洛伊德(Floyd)演算法也是一種用於尋找給定的加權圖中頂點間最短路徑的演算法。該演算法名稱以創始人之一、1978年圖靈獎獲得者、斯坦福大學電腦科學系教授羅伯特·弗洛伊德命名。

基本思想

     通過Floyd計算圖G=(V,E)中各個頂點的最短路徑時，需要引入一個矩陣S，矩陣S中的元素a[i][j]表示頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。

     假設圖G中頂點個數為N，則需要對矩陣S進行N次更新。初始時，矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。 接下來開始，對矩陣S進行N次更新。第1次更新時，如果"a[i][j]的距離" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i與j之間經過第1個頂點的距離")，則更新a[i][j]為"a[i][0]+a[0][j]"。 同理，第k次更新時，如果"a[i][j]的距離" > "a[i][k]+a[k][j]"，則更新a[i][j]為"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之後，操作完成！

     單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過執行個體來對該演算法進行說明。

弗洛伊德演算法圖解

以G4為例，來對弗洛伊德進行演算法示範。

初始狀態：S是記錄各個頂點間最短路徑的矩陣。 
第1步：初始化S。 
    矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。實際上，就是將圖的原始矩陣複製到S中。 
    注:a[i][j]表示矩陣S中頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。

第2步：以頂點A(第1個頂點)為中介點，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，則設定a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。 
    以頂點a[1]6，上一步操作之後，a[1][6]=∞；而將A作為中介點時，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之間的距離可以更新為26。

同理，依次將頂點B,C,D,E,F,G作為中介點，並更新a[i][j]的大小。

弗洛伊德演算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"為例對弗洛伊德演算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的源碼。

1. 基本定義

1 // 鄰接矩陣2 typedef struct _graph3 {4     char vexs[MAX];       // 頂點集合5     int vexnum;           // 頂點數6     int edgnum;           // 邊數7     int matrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣8 }Graph, *PGraph;

Graph是鄰接矩陣對應的結構體。 
vexs用於儲存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於儲存矩陣資訊的二維數組。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

2. 弗洛伊德演算法

 1 /* 2  * floyd最短路徑。 3  * 即，統計圖中各個頂點間的最短路徑。 4  * 5  * 參數說明： 6  *        G -- 圖 7  *     path -- 路徑。path[i][j]=k表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑會經過頂點k。 8  *     dist -- 長度數組。即，dist[i][j]=sum表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑的長度是sum。 9  */10 void floyd(Graph G, int path[][MAX], int dist[][MAX])11 {12     int i,j,k;13     int tmp;14 15     // 初始化16     for (i = 0; i < G.vexnum; i++)17     {18         for (j = 0; j < G.vexnum; j++)19         {20             dist[i][j] = G.matrix[i][j];    // "頂點i"到"頂點j"的路徑長度為"i到j的權值"。21             path[i][j] = j;                 // "頂點i"到"頂點j"的最短路徑是經過頂點j。22         }23     }24 25     // 計算最短路徑26     for (k = 0; k < G.vexnum; k++)27     {28         for (i = 0; i < G.vexnum; i++)29         {30             for (j = 0; j < G.vexnum; j++)31             {32                 // 如果經過下標為k頂點路徑比原兩點間路徑更短，則更新dist[i][j]和path[i][j]33                 tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);34                 if (dist[i][j] > tmp)35                 {36                     // "i到j最短路徑"對應的值設，為更小的一個(即經過k)37                     dist[i][j] = tmp;38                     // "i到j最短路徑"對應的路徑，經過k39                     path[i][j] = path[i][k];40                 }41             }42         }43     }44 45     // 列印floyd最短路徑的結果46     printf("floyd: \n");47     for (i = 0; i < G.vexnum; i++)48     {49         for (j = 0; j < G.vexnum; j++)50             printf("%2d  ", dist[i][j]);51         printf("\n");52     }53 }

 完整代碼可以見：http://www.wutianqi.com/?p=1903

弗洛伊德演算法（Floyd演算法）