從貝葉斯到粒子濾波——Round 2

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　　粒子濾波確實是一個挺複雜的東西，從接觸粒子濾波到現在半個多月，博主哦勒哇看了N多篇文章，查略了嗨多資料，很多內容都是看了又看，細細斟酌。今日，便在這裡驗證一下自己的修鍊成果，請各位英雄好漢多多指教。

　　講粒子濾波之前，還得先講一個叫”貝葉斯濾波”的東西，因為粒子濾波是建立在貝葉斯濾波的基礎上的哩。說太多抽象的東西也很難懂，以目標跟蹤為例，直接來看這東西是怎麼回事吧：

　　1. 首先咋們建立一個動態系統，用來描述跟蹤目標在連續時間序列上的變換情況。簡單一點，我們就使用目標的位置(x,y)作為這個動態系統的狀態吧。

　　那怎麼描述呢？

　　我們使用狀態xt來描述系統在時刻t的狀態，在這個例子中，xt=(xt,yy)；使用yt表示在時刻t目標的觀測值。這裡請注意，xt是我們建立的模型中，目標的位置，而目標的實際位置不一定與之相等。舉個簡單的例子就是：一部小車做勻加速直線運動，xt是我們用公式計算出來的小車的位置，yt是我們用GPS定位到的位置。

　　由於誤差的存在，光靠理論公式計算得出來的結果肯定是有偏差的。但是，GPS又卡又慢，要靠它來完成我們的目標跟蹤貌似也不是很靠譜。那我們做一下折衷吧，先用理論計算得到目標的位置，然後用觀測值進行修正，使得我們的模型更加完美。

　　額！完美嗎？不害臊！你理論得出來的不準確，然後還要靠又卡又慢的GPS來修正，還好意思跟我說完美！你怎麼不上天，跟太陽肩並肩。再說了，你修正後的位置還不一定是準確了，要我說目標也可能就在計算到的位置，也可能在它東邊、西邊、南邊、北邊、東南邊......

　　哢哢哢！行行行，我錯了還不行麼。你這人真是急躁，喝口茶消消氣，再聽我細細說來。前面那位大爺說的在理，咋們得聽，嗯，我猜他應該是太陽的後裔，哈哈哈！跑題了。

　　是啊！目標的位置可能在好多個位置，有各種可能性，畢竟我們並沒有得到一個準確的值。咦！那我們可以用機率來描述啊！這種不確定性不就是機率論裡面說的那些東西嗎？天呐，我好激動，修鍊多年的機率論終於派上用場了。而且你看哦，用觀測值yt對xt進行修正，這不就是說先得到先驗機率p(xt)，然後擷取到更加豐富的資訊yt後，對先驗機率進行修正，得到後驗機率p(xt|yt)嗎？哇哇哇！貝葉斯，貝葉斯，這就是貝葉斯啊，條件機率啊！！！

　　2. 貝葉斯濾波

　　嗯嗯嗯，對對對，樓上正解。從貝葉斯理論的觀點來看，狀態估計問題(目標跟蹤，訊號濾波)就是根據之前一系列已有資料y1:t(後驗只是)遞推計算出目前狀態xt的可信度。這個可信度就是機率公式p(xt|y1:t)。貝葉斯濾波通過預測和更新這兩個步驟來遞推計算xt的可信度。

　　預測過程是利用系統模型預測狀態xt的先驗機率密度，也就是通過已有的先驗知識對未來系統的狀態進行猜測，

　　更新過程是利用新的觀測值yt對先驗機率密度進行修正，得到後驗機率密度。

　　3. 公式及推導

　　貝葉斯濾波的公式是醬紫的：

　　預測：

　　　　

　　更新：

　　　　

　　在推導之前，一些預備知識還是要的。貝葉斯公式(就是條件機率公式啦)，全機率公式，樣本空間的概念和完備事件組的概念。這些知識對推導過程的理解尤為重要，建議各位先瞭解一下這些概念。

　　還要提一下，動態系統中的狀態轉移問題，一般都先假設其服從一階馬爾科夫(Markov)模型，即

　　①當前時刻的狀態xt只與上一時刻的狀態xt-1有關；

　　②t時刻的觀測值yt只與當前的狀態xt有關。

　　下面進行貝葉斯濾波公式的推導：　　

　　預測：

　　

　　哈哈！博主比較懶，直接了，字比較醜，見諒見諒。第一行是一個全機率公式的應用，然後第二第三第四行都是條件機率啦！最後一行是根據假設①來著。

　　這裡你可能有一個問題，既然都說前時刻的狀態xt只與上一時刻的狀態xt-1有關，跟yt沒半毛錢關係，即p(xt|xt-1)。那你弄一個p(xt|y1:t-1)是幾個意思？

　　莫說你要問了，我當初可是也糾結了好久。說到底，這兩個機率公式含義不一樣。p(xt|xt-1)是純粹根據模型進行預測(計算)，啪，xt-1進去，公式一算，xt出來了，簡單明了。p(xt|y1:t-1)這一個呢，是說既然我們已經拿到了一組資料，這些資料跟系統狀態也是有關係的，那我們就可以根據這些資料來猜呀，只是猜測而已呐。（樓主yy：那... 你猜我猜不猜？）

　　更新：

　　

　　第三行是根據假設②，其他的全都是條件機率公式的應用。

　　這裡你應該跟我一樣，也還有一個問題，就是既然yt只與xt有關，那分母的p(yt|y1:t)為什麼不直接寫成p(yt)啊！！！

　　關於這個問題，其實，我也不知道。要不你們也研究一下咯，然後拜託告訴我一聲。

　　However，當貝葉斯濾波碰到了粒子濾波，這些推導完全不重要。哈哈哈！就是說我們推了半天沒用，好想哭。。。

　　粒子濾波使用N個加權的樣本(即粒子)來近似表示後驗機率密度p(xt|y1:t)。因為有些問題系統狀態變換很難建模嘛，公式都沒有，xt沒法產生啊！所以就撒樣本唄，用樣本的分布來近似狀態xt的真實分布。

　　預知後事如何，請聽下回分解。

從貝葉斯到粒子濾波——Round 2