從字元全排序到八皇后問題

假設要求字串/數組的全排序，例如："123"的全排序，第1位有3種選擇，第2位有2種選擇，第3位1種選擇，時間複雜度顯然是3!.實際上容易知道，對於n個字元，全排序一共有n!種可能，是n!時間複雜度的．我們需要找一個演算法求出所有的可能的排序，最好的辦法是遞迴，如果選用迴圈，需要n層嵌套，不太現實．假設我們已經擁有一個函數 FullPermutation(A[n])能將數組A[n]全排序，於是，我們可以將A[n]分為A[1]和A[n-1]兩個子問題，其中，A[1]可以有n種選擇，選擇辦法是：將A[1]和A[i]交換,其中，i=1,2,3,4......．記得交換後，需要複原．A[n-1]的全排序可以通過調用FullPermutation()完成．
遞推公式：
F(n):  = Done n=1  
  = n*F(n-1) n>1

由上面的分析和遞推公式就很容易寫出代碼了：

#include<iostream>using namespace std;void Full_permutation(int* A,int beg,int end){if(beg == end){for(int i=0;i<=end;++i)cout<<A[i]<<' ';cout<<endl;return ;}for(int i=beg;i <= end; ++i)//A[1]有n種選擇，需要n次迴圈{swap(A[beg],A[i]);　//選擇beg的值Full_permutation(A,beg+1,end);//求解n-1子問題swap(A[beg],A[i]);}}int main(){int A[8]={0,1,2,3,4,5,6,7};Full_permutation(A,0,7);return 0;}

擴充：由時間複雜度為(n!)，我們容易聯想到n皇后問題，最經典的八皇后問題：在8×8的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能相互攻擊，即任意兩個皇后不得處在同一行、同一列或者同一對角斜線上。我們可以這麼分析，先從行入手，第1個皇后可以在第1行上選擇8個位置，第2個皇后可以在第2行選擇7個位置(只要不和第1個皇后同列)，第3個皇后可以在第1行上選擇6個位置(只要不和第1,2個皇后同列)．如果不考慮對角線的攻擊方向，那麼n皇后問題可以有n!個解，和上面的全排列一樣．同樣，我們可以先考慮行和列的n!種所有情況，然後排除對角線衝突的情況，進而縮小範圍，就可以找出8皇后的解．基於這個想法，八皇后問題並不難．現在，我們還剩下最後一個問題？用什麼資料結構儲存皇后的二維座標，其實很容易，用(i,A[i])就可以儲存皇后的位置，即一個數組，索引i表示行，A[i]表示列．定義一個A[8]就可以表示八皇后．

由這個思路，代碼：

#include<iostream>using namespace std;bool isLegalQueens(int* A,int end){for(int i=0; i<=end; ++i){for(int j=i+1; j <=end; ++j){if( A[j]-A[i] == j-i || A[j]-A[i] == i-j )//兩點的斜率如果為1或-1，則為不合法return false;}}return true;}void Full_permutation(int* A,int beg,int end){if(beg == end){if(isLegalQueens(A,end)){for(int i=0;i<=end;++i)cout<<A[i]<<' ';cout<<endl;}return ;}for(int i=beg;i <= end; ++i)//A[1]有n種選擇，需要n次迴圈{swap(A[beg],A[i]);//選擇beg的值Full_permutation(A,beg+1,end);//求解n-1子問題swap(A[beg],A[i]);}}int main(){int A[8]={0,1,2,3,4,5,6,7};Full_permutation(A,0,7);return 0;}