從萊布尼茲到羅賓遜，無窮小重返現代科技

      無窮小（Infinitesimal)的本質是什嗎？無窮小能否反映物理實際？有何根據？

             昨日，閱讀“Infinitesimal：from
Leibniz to Robinson”（By
Lindat Keegan,April 16,2010）有感。我們設想一種情景：Leibniz與Robinson兩人在高爾夫球場散步、交流、溝通。
Leibniz believed that the infinitesimals in his calculus could be considered to be “well founded fictions.”
That is, they could be used to arrive at the correct answer, but would disappear once they

were no longer needed”，意思是說，萊布尼茲認為自己的無窮小是一種“十分有根據的虛構物”（“well
founded fictions），也就是說，無窮小可以用於（科學推理）而獲得正確的答案。Robinson雖然同意Leibniz關於無窮小是“fictions
of the mind”的說法，但是，他不同意萊布尼茲的無窮小是“十分有根據的”。

         到了上世紀，Robinson藉助數理邏輯模型論（Model
Theory）為無窮小奠定了嚴密的數學基礎，創立了名副其實的“無窮小微積分學”，使無窮小微積分獲得許多科技應用（包括經濟學應用）。無窮小微積分的核心問題是：Constructinga
number system that includes infinitesimals. These are numbers smaller than any real number yet still greater than zero.“也就是說，無窮小微積分的核心問題是：建立超實線，即含有無窮小的連續統。

            回顧曆史，1948年，年僅28歲的Edwin
Hewitt藉助”超冪“結構（Ultrapower）構建了”超實數系“（Hyperreals），填補了萊布尼茲的”遺憾“。1955年，35歲的波蘭數學家Jerzy
Los為超實數結構建立了所謂”轉移定理“（Transfer Theorem）。1960年，42歲的Robinson首次整合前人的研究成果，建立了現代意義的無窮小分析。在高爾夫球場上，萊布尼茲對羅賓遜說，你們這些”後生“確實很厲害，搞出了數理邏輯模型論，我們這一輩人不懂。

             實際上，現代無窮小的理論很深，不是一般人所能理解的。1976年，J.Keisler把羅賓遜的非標準分析寫成了大學微積分教科書，意義非同尋常。到了本世紀，共有20多位世界知名的無窮小作家，萊布尼茲後繼有人也。1984年，美國Victor
Harnik撰寫了一部專著，名為“Infinitesimal from Leibniz to Robinson，Time
to bring them back to school”，值得一讀。現在是時候了，把無窮小帶回中學數學教學中去。我們這一輩人需要做的事情很多，很多，......