完全圖的產生樹

經典證明：Prüfer編碼與Cayley公式(轉Matrix67)

Cayley公式是說，一個完全圖K_n有n^(n-2)棵產生樹，換句話說n個節點的帶標號的無根樹有n^(n-2)個。今天我學到了Cayley公式的一個非常簡單的證明，證明依賴於Prüfer編碼，它是對帶標號無根樹的一種編碼方式。
給定一棵帶標號的無根樹，找出編號最小的葉子節點，寫下與它相鄰的節點的編號，然後刪掉這個葉子節點。反覆執行這個操作直到只剩兩個節點為止。由 於節點數n>2的樹總存在葉子節點，因此一棵n個節點的無根樹唯一地對應了一個長度為n-2的數列，數列中的每個數都在1到n的範圍內。下面我們只 需要說明，任何一個長為n-2、取值範圍在1到n之間的數列都唯一地對應了一棵n個節點的無根樹，這樣我們的帶標號無根樹就和Prüfer編碼之間形成一 一對應的關係，Cayley公式便不證自明了。

注意到，如果一個節點A不是葉子節點，那麼它至少有兩條邊；但在上述過程結束後，整個圖只剩下一條邊，因此節點A的至少一個相鄰節點被去掉過，節 點A的編號將會在這棵樹對應的Prüfer編碼中出現。反過來，在Prüfer編碼中出現過的數字顯然不可能是這棵樹（初始時）的葉子。於是我們看到，沒 有在Prüfer編碼中出現過的數字恰好就是這棵樹（初始時）的葉子節點。找出沒有出現過的數字中最小的那一個（比如④），它就是與Prüfer編碼中第 一個數所標識的節點（比如③）相鄰的葉子。接下來，我們遞迴地考慮後面n-3位編碼（別忘了編碼總長是n-2）：找出除④以外不在後n-3位編碼中的最小
的數（左圖的例子中是⑦），將它串連到整個編碼的第2個數所對應的節點上（例子中還是③）。再接下來，找出除④和⑦以外後n-4位編碼中最小的不被包含的 數，做同樣的處理……依次把③⑧②⑤⑥與編碼中第3、4、5、6、7位所表示的節點相連。最後，我們還有①和⑨沒處理過，直接把它們倆串連起來就行了。由 於沒處理過的節點數總比剩下的編碼長度大2，因此我們總能找到一個最小的沒在剩餘編碼中出現的數，演算法總能進行下去。這樣，任何一個Prüfer編碼都唯 一地對應了一棵無根樹，有多少個n-2位的Prüfer編碼就有多少個帶標號的無根樹。

一個有趣的推廣是，n個節點的度依次為D1, D2, ..., Dn的無根樹共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]個，因為此時Prüfer編碼中的數字i恰好出現Di-1次。