（好玩）想追她？先算算你要等多久

轉載自果殼網想追她？先算算你要等多久Chunhao 發表於2011-11-25
23:15:45

她在談戀愛，但對象不是你。到底還要等多久？不要苦惱，來估算一下讓自己心裡有個譜吧。要說的是，我們還能順便估算出她從步入青春時代到嫁人被多少人追過。備胎必讀！

一個女孩從第一次被人追求到結婚，平均會有多少人去追她？她又會談幾次戀愛？其實，我們可以建立一個簡化的模型估算出來。

這是一個等待和處理的過程

不妨假設，一個條件不差的女孩，始終會有人追（被追求頻率不同而已）。如果把追求者看成一個列隊，當追求者出現時，就可被看成一個“請求”放到這個列隊裡。對於女孩來說，要“處理”這個“請求”，她無非有兩種選擇：接受或者拒絕（這裡不考慮其他的複雜行為）。而一旦她開始處理某個請求，結局只有兩個：

女孩和他談戀愛直到分手（或者結婚）女孩經過或短或長時間的考慮後明確拒絕追求者

分手或完成拒絕意味著完成處理，這是就把他從列隊裡除去。女孩和這個人談戀愛所經曆的時間，或者決定拒絕所用的時間叫作“處理時間”；某個人從成為她的追求者直到分手或被拒絕的時間則叫作“等待時間”。那到底平均有多少人在女孩的列隊裡？平均每個人要在女孩的列隊裡等多久？

簡化成數學模型

平均來看，對某一個女孩子來說，追求者出現頻率可當作是隨機的，那兩個追求者出現的時間間隔就可以用指數分布來表示。因此追求者出現的頻率就服從泊松分布。另一方面，由於追求者的出現是隨機的，女孩子心儀的對象就是隨機出現的，這導致了女孩談戀愛的時間是隨機的，即其處理時間服從指數分布，女孩在一段時間內談戀愛的頻率也就服從泊松分布。

為了將實際複雜的問題進行簡化，我們做出下面幾條理想化的假設：

（1）追求者都是死心眼，一旦成了追求者就不會放棄，一直待在列隊裡，直到分手或者被拒絕。也就是說當列隊中的對象沒有被處理時，他就會排隊等待處理。

（2）女孩不會腳踏兩隻船，每次最多隻和一個人談戀愛（每次只處理一個請求）。

（3）當女孩正在處理一個請求時，設其他追求者有紳士風度，不會騷擾她。

（4）女孩處理列隊裡的請求時遵循先到先談（First Come First Serve, FCFS）原則，遇到靠譜的就戀愛，遇到不靠譜的就拒絕，決定拒絕某人可能要經曆一定時間。

既然追求者出現的時間間隔和處理時間都服從指數分布，我們就分別用 a(t) 和 b(t) 表示二者的密度方程（density function）：

根據泊松分布的特性我們可以知道：追求者出現的時間間隔的平均值是 1/λ，處理時間的平均值是 1/μ， λ 指追求者出現的頻率，μ 指的是女孩處理請求的頻率 。

用排隊論算出追求者平均等待時間

當追求者超過 1 個時，就會形成排隊的狀態，這時候我們可以引入馬爾可夫鏈（Markov Chains）來分析這個問題：

在中，每個圓圈代表排隊系統的一個狀態，其中的數字代表列隊長度：當前追求者個數。在每個狀態，每來一個追求者，系統就到了下一個狀態（追求者的人數加 1），女孩談完一次戀愛或者拒絕一個人，系統就回到了上一個狀態（追求者的人數減 1，因為某個追求者被拒或者成了前男友）。

用 p n 表示系統處於狀態 n（姑娘的列隊裡有 n 個追求者）的機率，系統要達到一個穩定點，必須要滿足下面的遞迴方程：

通過迭代法解這個等式，可以得出 p n 的運算式：

另外注意到，對於這條馬爾可夫鏈來說，各個狀態的機率和應當為 1（因為包含了所有情況）： p0 + p 1 + ... + p n = 1 。結合上式，最終解得：

有了機率，我們就可以計算追求者列隊的平均長度了。隨機變數 N 代表列隊在穩定點時追求者的數量，根據期望：

化簡可得：

知道了這個女孩的追求者數量的期望值，我們還想知道平均每個追求者要等多久。為瞭解決這個小問題，我們得用排隊論 (queueing theory）的 Little's formulas：

W 就是追求者的平均等待時間（從進入列隊到和女孩分手或被拒絕），結合上面的結果，不難得出：

用結論估計現實

公式已經推出，理論的武器已經牢牢握在手裡，剩下的事情就是想辦法瞭解女孩的曆史，得到兩個關鍵資料： λ 和 μ。追求者出現的頻率取決於女孩的搶手程度，而她戀愛的頻率，大致也就等於她談過戀愛的次數和女孩從開始被追到現在的時間的商。例如，一個女孩子，每個月都會有一個人來追求她，而她每半年談一次戀愛，這裡的半年，是指女孩從上一次戀愛分手到這次戀愛的時間，這個周期女孩處理的請求數平均是 7。那麼追求者的平均等待時間就是 1 / （7 / 6 - 1 / 1） = 6 ,追求者的平均等待時間是 6 個月。但是會有多少人花半年時間等一個展示自己的機會呢？要注意的注意，這裡等來的不過是請求被處理，也就是女孩對你的注意，說不定
12 個月的等待到頭來的結果還是被拒絕。所以從這裡我們可以看到，默默等待被心上人青睞的成本，那還是相當大的。這或許就是情癡瀕危的原因了吧。

另一方面，假設女孩的戀愛頻率是相同的，越搶手的（通常也就是越漂亮的）女孩，追求者出現的頻率 λ 就會越大，因此 W 的值就會越大。這就說明，想用真心和等待默默打動“熱門”女孩，成功機率實在不高。如果真想追，那倒不如“捨得一身剮，敢把皇帝拉下馬”，就算她在談戀愛中，也採取實際行動。

有趣的是，這項“研究成果”對女孩也是有用的。女孩把自己的資料代到公式裡算出自己的追求者平均要追求多久，緊接著就能算出自己在某一段時間裡能遇到多少個追求者。例如，女孩經過計算得出追求者的平均等待時間是兩個月，那在她 16 歲到 26 歲這十年的黃金時間裡，遇到的追求者數量的期望就是 60 個。想挑個好老公，女孩心裡要有數才行。按數學家的建議，那就應該 先拒絕掉前面
37% 的人 ，再逐個考察，靜候下一個比這些人都好的人。

關於模型的兩點說明

雖然我們用這個數學結論指導愛情，但要注意的是，現實情況並沒有如此理想化。在這裡有兩點需要說明。首先在模型假設裡，我們假設追求者一旦進入隊列就不會自動離開，但通常在一段時間女孩沒有反應後，多數人會知難而退自動離開，並不會等那麼久，尤其是看到女孩已經談戀愛時。

另一方面，女孩每次只能處理一個請求。一次只和一個人談戀愛是常見的，但在此之外，同時間考察和拒絕若干追求者也是正常的（而不是模型中那樣假設的每次拒絕一個人）。現實中，對很多追求者來說，幾乎都是直接被忽視掉。從這個角度講，處理請求的頻率 μ 通常大於請求到來的頻率 λ（因為短時間內就可以拒絕很多人），這一點與模型項符。

實際上，這個模型最適用的是，會讓女孩動心的追求者隊列（這樣的追求者不多，相應的 λ 就不會很高）。這個隊列不會太長，因為讓女孩動心的追求者很少會同一時間出現很多個。而要拒絕任意一個這樣的追求者，都需要仔細考慮一段時間才能下決心。

雖然是個很理想化的模型，但還是比親自去問她，得到的答案要準確多了吧。

參考資料：

[1] Fundamentals of Queueing Theory 4th edition, 2008

[2] 維基百科： Poisson distribution

[3] 維基百科： Markov chain