高中數學中需要重點關注的函數和映像

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一、在函數性質的綜合應用中需要關注的函數

常見的奇函數：\(f(x)=kx\)；\(f(x)=x^3\)；\(f(x)=x^k(k為正奇數)\)；\(y=Asin\omega x\)；

\(y=e^x-e^{-x}\)；\(y=2^x-2^{-x}\)；\(y=ln\cfrac{x+1}{x-1}\)；

常見的偶函數：\(f(x)=x^2\)；\(y=k|x|(k\in R)\)；\(y=e^{|x|}\)；\(f(x)=x^k(k為正偶數)\)；

\(y=Acos\omega x\)；\(y=e^x+e^{-x}\)；\(y=2^x+2^{-x}\)；

考查方向：可能需要用到每個部分的奇偶性，

比如函數\(f(x)=ln(|x|-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)，就是偶函數；

二、在函數映像變換、函數與方程中需要關注的函數

\(y=|x|\)；\(y=a^{|x|}(a >1)\)；\(y=a^{|x|}(0< a <1)\)；\(y=|x^2-2x-4|\)；

\(y=lg|x|\)；\(y=|lg|x||\)；\(y=|lgx|\)；\(y=e^x+e^{-x}\)；\(y=2^x+2^{-x}\)；

• 同時請注意以下函數中的參數\(a\)的作用；
  

\(y=a\cdot x^2\)；\(y=a\cdot |x|\)；\(y=a\cdot e^x\)；\(y=a\cdot lnx\)

• 函數\(y=\sqrt{1-x^2}\)，

由單位圓\(x^2+y^2=1\)可知，\(0<y<\sqrt{1-x^2}\)指\(x\)軸上方的單位圓的內部。

• 函數\(y=\sqrt{4-\cfrac{4x^2}{9}}\)

由橢圓\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)可知，\(0<y<\sqrt{4-\cfrac{4x^2}{9}}\)指\(x\)軸上方的橢圓內部。

三、在函數與導數應用中需要關注的函數

\(y=x\cdot lnx\)，\(y=\cfrac{lnx}{x}\)，\(y=x\cdot e^x\)，\(y=\cfrac{e^x}{x}\)，

四、在不等式證明中中需要關注的函數

• 函數\(f(x)=e^x-x-1\)在\((-\infty，0)\)上單調遞減，在\((0，+\infty)\)上單調遞增；

體現在函數的映像上(形)，函數\(y=e^x\)的映像恒在函數\(y=x+1\)的上方；

體現在大小關係上(數)，\(e^x\ge x+1\)；

• 函數\(f(x)=x-1-lnx\)在\((0，1)\)上單調遞減，在\((1，+\infty)\)上單調遞增；

體現在函數的映像上(形)，函數\(y=x-1\)的映像恒在函數\(y=lnx\)的上方；

體現在大小關係上(數)，\(x-1\ge lnx\)；

高中數學中需要重點關注的函數和映像